NÚMEROS I CONTANDOLos números s'esmenten sovint en la…

NÚMEROS I COMPTANTEls números s'esmenten sovint en la Bíblia, on sempre s'expressen en termes de paraules numèriques. No obstant això, les inscripcions en objectes arqueològics com a pesos, ostraca i monuments demostren que l'ús de símbols numèrics era comú en l'antic Israel. Les formes d'aquests símbols numèrics revelen influències estrangeres, de cap manera inesperades en les circumstàncies donades. A més, l'ús literari dels números en la Bíblia demostra una bona quantitat d'influència estrangera. Els números alts sovint tenen una forma que és característica dels números originalment expressats ​​en el sistema numèric mesopotàmic amb la base 60. En molts casos es poden fer comparacions estilístiques entre passatges de la Bíblia i paral·lels en llegendes ugaríticas o sumeri-acadias. La naturalesa històric-literària-religiosa de la Bíblia explica per què els càlculs en les Escriptures són molt pocs i poc sofisticats. Per a una comprensió adequada del paper que juguen els números i el comptatge en l'entorn cultural on va sorgir la literatura bíblica, és necessari buscar fonts i influències alienes. A continuació, es demostrarà la importància de #aqueix paper i la profunditat i amplitud de les seves arrels. Es posarà relativament poc èmfasi en els números que apareixen en la Bíblia mateixa, ja que existeixen discussions detallades en altres llocs ( es demostrarà a continuació. Es posarà relativament poc èmfasi en els números que apareixen en la Bíblia mateixa, ja que existeixen discussions detallades en altres llocs ( es demostrarà a continuació. Es posarà relativament poc èmfasi en els números que apareixen en la Bíblia mateixa, ja que existeixen discussions detallades en altres llocs (BID 3: 561-67; EncJud 12: 1254-61). Vegi també MATEMÀTIQUES, ÀLGEBRA I GEOMETRIA.

—

A. Representacions numèriques i aritmètica

1. L'Orient Mitjà prealfabetizado

2. Antiga Mesopotàmia

3. Aniran antic

4. Antic Egipte

5. Antiga Siriana-Palestina

B. Números en la literatura poètica i religiosa

1. Sumero-Akkadian

2. Ugarítico

3. La Bíblia

—

A. Representacions numèriques i aritmètica     

1. El Mitjà Orient prealfabetizado. Durant cinc mil·lennis abans de la invenció de l'escriptura, un mètode uniforme per al registre de números es va estendre per tot el Mitjà Orient (Schmandt-Besserat 1977). El mètode va consistir en l'ús de petites -fitxes- d'argila com a representacions de números i mesures. Aquestes fitxes s'han descobert en pràcticament tots els llocs excavats des d'Anatolia en el nord fins a l'Iran en l'est i Egipte en l'oest. Algunes fitxes trobades a Israel, per exemple, poden datar-se en el setè mil·lenni A. C. (Jericó), mentre que unes altres són tan tardanes com el segon mil·lenni A. C.     (Megido). Aquestes fitxes vénen en moltes formes, com a cilindres, esferes, discos, cons, ovoides, etc., i en diverses grandàries. És probable que s'utilitzessin en el comerç i el comerç, en i entre moltes regions autònomes. El significat de les diverses formes i grandàries de les fitxes es pot inferir, de manera provisional, a partir d'una comparació amb les formes i grandàries corresponents de les notacions numèriques escrites que eventualment les van reemplaçar (veure més a baix).

Es va utilitzar el sistema de representació número basat en tokens sense cap modificació aparent així en el quart mil·lenni ABANS DE CRIST El següent pas en aquest desenvolupament cada vegada més ràpid va ser quan es va suspendre l'ús de les fitxes en favor d'un nou invent, tauletes d'argila "impreses" amb marques de punxó com a símbols numèrics. Es van utilitzar palpadores de canya de diferents diàmetres per a perforar marques circulars i semiovals en l'argila, en un obvi intent d'imitar les formes de petites i grans fitxes cilíndriques, esfèriques i còniques. La invenció de l'escriptura va ser l'últim pas lògic en aquesta cadena d'innovacions. Va tenir lloc, probablement en el sud de Mesopotàmia, en algun moment cap al final del quart mil·lenni. en un obvi intent d'imitar les formes de petites i grans fitxes cilíndriques, esfèriques i còniques. La invenció de l'escriptura va ser l'últim pas lògic en aquesta cadena d'innovacions. Va tenir lloc, probablement en el sud de Mesopotàmia, en algun moment cap al final del quart mil·lenni. en un obvi intent d'imitar les formes de petites i grans fitxes cilíndriques, esfèriques i còniques. La invenció de l'escriptura va ser l'últim pas lògic en aquesta cadena d'innovacions. Va tenir lloc, probablement en el sud de Mesopotàmia, en algun moment cap al final del quart mil·lenni.ABANS DE CRIST

2. Mesopotàmia antiga. Els primers registres escrits desenterrats fins ara són tablillas d'argila "proto-sumèries" d'Uruk en el sud de Mesopotàmia (ca. 3000 a. C.      ). Aquesta escriptura arcaica d'Uruk consta de signes de paraules i números. Alguns signes denominatius són pictogràfics, mentre que uns altres són abstractes i només poden interpretar-se quan són precursors dels signes denominatius sumeris de significat conegut. Els signes numèrics, perforats en l'argila amb un joc de palpadores rodons, són fàcils de distingir dels signes denominatius. Consisteixen en combinacions de marques petites i grans, rodones i semiovals. Els números sexagesimals s'escriuen mitjançant la repetició dels signes -oval petit, rodó petit, oval gran, rodó petit en oval gran, rodó gran- amb els valors 1, 10, 60, 600, 3600. Els signes numèrics també poden denotar valors de mesures de gra, longitud, àrea, etc., de manera que un mateix signe pugui tenir, per exemple, els valors 10, 6 unitats de gra i 1.800 unitats d'àrea, segons el context (Friberg 1984). Mesures de temps (dies, mesos, anys) s'indiquen mitjançant diverses combinacions de signes numèrics amb el pictograma per a "sol, dia". L'any -administratiu- és, tant en els primers textos d'Uruk com en els textos cuneïformes posteriors, un any fictici de 12 mesos amb 30 dies cadascun (Englund 1987).

Amb l'evolució de l'escriptura cuneïforme, els signes numèrics van canviar de forma, però encara s'usaven tant per a números com per a mesures sexagesimals. El resultat final del desenvolupament va ser el sistema de valor posicional sexagesimal (ca. 2000 AC ), que va permetre que tots els números s'escrivissin mitjançant la repetició de només dos signes numèrics, "tascó vertical" per a "1" i "tascó oblic" (Winkelhaken ) per a "10". Un zero sexagesimal es va usar amb moderació, amb major freqüència en els textos matemàtics i astronòmics babilònics tardans (ca. 300 a. C.  ).

Els textos matemàtics més antics que es coneixen són de la ciutat sumèria de Shuruppak (Fara), ca. 2650 AC Consisteixen en una taula de quadrats, un exercici de multiplicació i dos exercicis de divisió, tots amb números elevats. El període OB posterior , ca. 1700 a. C. , va ser una època en la qual l'ensenyament de les matemàtiques era intensa a les escoles d'escribes de Mesopotàmia. En el nivell elemental, aquest ensenyament es basava en l'ús de taules de multiplicar, taules de divisió i taules de mesures elaborades. En un nivell més avançat, el pla d'estudis comprenia algorismes per al càlcul d'arrels quadrades, recíprocs, etc., així com mètodes per a resoldre equacions quadràtiques i problemes indeterminats, i regles pràctiques per a càlculs relacionats amb maons, reg, divisió del treball, i així successivament (Neugebauer i Sachs 1945). Durant el període LB , ca. 300 a. C. , va haver-hi un renovat interès en les matemàtiques, juntament amb la producció de taules de divisió matemàtica sorprenentment sofisticades o taules astronòmiques amb prediccions per als moviments del sol, la lluna i els planetes.

3. Aniran antic. Cap al final del quart mil·lenni a. C.      la influència de la cultura Uruk tardana a Mesopotàmia va arribar fins a l'antic Iran. Aquest va ser el moment dels sobres esfèrics i les tauletes impreses. A partir de llavors va seguir una ruptura en les relacions entre les dues regions, aproximadament en el moment en què es va inventar l'escriptura arcaica Uruk a Mesopotàmia. No gaire després, es va inventar i va establir a l'Iran un guió "protoelamita" independent. Es basava en un repertori de signes abstractes, probablement una mescla de signes de paraules i signes de síl·labes, escrits en tablillas d'argila en línies de dreta a esquerra. El guió va resultar ser relativament efímer i encara no s'ha desxifrat, amb una excepció important, el signe d'ordi, " gra". Els signes numèrics que són presents en pràcticament tots els textos protoelamitas es formen de la mateixa manera que els signes numèrics de les primeres tablillas d'Uruk (Friberg 1984). És possible mostrar que els sistemes de notació per als números sexagesimals i els nombres de grans són gairebé idèntics en les dues escriptures. També hi ha, inesperadament, un tercer sistema protoelamita de notacions numèriques que és decimal, amb signes especials per a "100" i per a "1.000". Els signes de nombres decimals probablement es van usar per a comptar animals, mentre que els números sexagesimals es van usar per a comptar persones i objectes inanimats. En les escriptures sumèries mai va haver-hi signes especials per a nombres decimals. Les paraules per a "cent" i "mil" en sumeri eren paraules prestades de l'idioma semítico de la part acadia (semita) de la població del sud de Mesopotàmia. Els signes especials per a "100" i "1,000" no van existir fins a una data relativament tardana, al voltant del final del tercer mil·lenni. inesperadament, un tercer sistema protoelamita de notacions numèriques que és decimal, amb signes especials per a "100" i per a "1.000". Els signes de nombres decimals probablement es van usar per a comptar animals, mentre que els números sexagesimals es van usar per a comptar persones i objectes inanimats. En les escriptures sumèries mai va haver-hi signes especials per a nombres decimals. Les paraules per a "cent" i "mil" en sumeri eren paraules prestades de l'idioma semítico de la part acadia (semita) de la població del sud de Mesopotàmia. Els signes especials per a "100" i "1,000" no van existir fins a una data relativament tardana, al voltant del final del tercer mil·lenni. inesperadament, un tercer sistema protoelamita de notacions numèriques que és decimal, amb signes especials per a "100" i per a "1.000". Els signes de nombres decimals probablement es van usar per a comptar animals, mentre que els números sexagesimals es van usar per a comptar persones i objectes inanimats. En les escriptures sumèries mai va haver-hi signes especials per a nombres decimals. Les paraules per a "cent" i "mil" en sumeri eren paraules prestades de l'idioma semítico de la part acadia (semita) de la població del sud de Mesopotàmia. Els signes especials per a "100" i "1,000" no van existir fins a una data relativament tardana, al voltant del final del tercer mil·lenni. mentre que els números sexagesimals es van utilitzar per a comptar persones i objectes inanimats. En les escriptures sumèries mai va haver-hi signes especials per a nombres decimals. Les paraules per a "cent" i "mil" en sumeri eren paraules prestades de l'idioma semítico de la part acadia (semita) de la població del sud de Mesopotàmia. Els signes especials per a "100" i "1,000" no van existir fins a una data relativament tardana, al voltant del final del tercer mil·lenni. mentre que els números sexagesimals es van utilitzar per a comptar persones i objectes inanimats. En les escriptures sumèries mai va haver-hi signes especials per a nombres decimals. Les paraules per a "cent" i "mil" en sumeri eren paraules prestades de l'idioma semítico de la part acadia (semita) de la població del sud de Mesopotàmia. Els signes especials per a "100" i "1,000" no van existir fins a una data relativament tardana, al voltant del final del tercer mil·lenni.BC ELS Signes cuneïformes per a "10,000" apareixen només en alguns textos de llocs perifèrics (Nuzi, Hattusha, Ugarit). L'explicació del significat dels signes numèrics proto-elamitas implica un important desxiframent parcial de moltes tablillas d'argila proto-elamitas. Es pot demostrar que la majoria dels textos són documents econòmics o administratius simples amb addicions, multiplicacions i conversions entre diversos sistemes de números. Referent a això, no hi ha gran diferència entre els textos protoliterados de l'antic Iran i els de la veïna Mesopotàmia.

4. Antic Egipte. Les dades disponibles suggereixen que l'escriptura es va inventar a Mesopotàmia cap al final del quart mil·lenni ABANS DE CRIST Informació sobre la nova tècnica ha de tenir va difondre ràpidament, perquè dins d'un lapse de temps molt breu es van inventar altres dues seqüències de comandos independents, el guió protoelamita a l'Iran i l'escriptura jeroglífica a Egipte. Aquest últim sembla haver estat completament desenvolupat des del principi, complet amb anotacions per a grans números fins a un milió (la imatge d'un déu assegut estirant tots dos braços). El paper d'un " milió" com a notació convencional per a un "gran nombre" es desprèn de la seva freqüent aparició en els mites egipcis ( ANET , 3-36): In The God and His Unknown Name of Power     es diu d'Isis, -El seu cor era més astut que un milió d'homes; era més selecta que un milió de déus; era més perspicaç que un milió de nobles morts ". En l'encanteri  per a no morir per segona vegada,Atum respon al difunt: "Estàs (destinat) a milions de milions (d'anys), una vida de milions". Els únics nombres enters que apareixen en l'escriptura jeroglífica són nombres decimals: un sol traç per a "1", un arc per a "10", un lotus per a "100", un dit per a "1,000" i un capgròs per a "10,000" ( Gillings 1972). Els números jeroglífics en les inscripcions monumentals es van formar mitjançant el principi additiu, per la qual cosa escriure un número com 89 requeria 17 símbols, 8 nueves i 9 uns. Per a fins pràctics quotidians, es va desenvolupar l'escriptura hieràtica cursiva, amb signes individuals per a les unitats 1-9, per a les desenes 10-90, per a les centenes 100-900 i per als milers 1.000-9.000 (Veure LA , sv Symbolische Zahlen ). La notació de valor posicional per a nombres decimals i fraccions mai es va introduir.

Tres tipus de notacions per a fraccions apareixen en les seqüències de comandos hieràtiques i jeroglífics, a saber, -fraccions d'unitat- 1 / n , senyals individuals per als -fraccions especials- ¹ / 2 , ¹ / 3 , ¹ / 4 , 2 / 3 , i 3 / 4 , i signes que denoten fraccions binàries (de ¹ / 2 a ¹ / 64 ) de les unitats bàsiques de capacitat i mesura d'àrea. En les seves formes jeroglífiques, les fraccions de capacitat es van modelar com a parts de l'ull del déu falcó Horus: la part interna (¹ / 2 ), l'iris (¹ / 4 ), la cella (¹ / 8 ), etc. La unitat fraccions 1 / nse van escriure amb el signe r ‘ , -boca-, com a r’-5 , r’-6 , etc. Els papirs matemàtics de la primera meitat del segon mil·lenni AC mostren que el concepte de fraccions comunes a / b era desconegut. Això va conduir a grans dificultats pràctiques en el curs de fins i tot els càlculs més simples que involucraven fraccions. L'exemple més conegut el constitueix el Papir matemàtic de Rhind (Robins i Shute 1987). A desproporcionadament gran part d'aquest document està ocupat per una taula amb regles per a la duplicació de fraccions unitàries, de 2 × ¹ / 3 = 2 / 3 a 2 x ¹ / 101 = ¹ / 101 + ¹ / 202 + ¹ /303 + ¹ / 606 . La duplicació era una operació aritmètica important per la raó que la multiplicació per qualsevol nombre enter podia reemplaçar-se per una sèrie de duplicacions, seguides d'una suma. Llavors, per exemple, atès que 13 = 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 +1 × 1, el producte 13 × 7 es pot calcular com (1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1) × 7 = 1 × 7 + 0 × 14 + 1 × 28 + 1 × 56 = 105. El mètode tenia l'avantatge que podia usar-se igualment bé per a resoldre problemes de divisió. És possible que els escribes egipcis fessin addicions a alguna mena d'àbac primitiu. Les multiplicacions, divisions i operacions amb fraccions es van dur a terme explícitament en el papir, a vegades amb l'ús de tinta negra i vermella per a conveniència del lector.

Alguns textos importants a la fi del segle egipcis matemàtics (3d BC segle -2d AD ), escrits en l'escriptura demòtica, van ser publicades per Parker (1972). En #aqueix moment, les conquestes perses i gregues d'Egipte havien obert el camí per a un augment dels contactes culturals entre Egipte i Mesopotàmia. Aquest fet és obvi en els textos matemàtics demòtics de Parker, que demostren una elecció de temes típicament babilònica. D'altra banda, el caràcter conservador de les tradicions matemàtiques egípcies es manifesta a través de l'ús continu de fraccions unitàries difícils de manejar com l'únic mitjà per a expressar fraccions.

Uns pocs papirs matemàtics grecs tardans de mitjan primer mil·lenni D. C. , recuperats de llocs a Egipte, són altres exemples de que sorprenentment tenaços poden ser les tradicions matemàtiques (Knorr 1982). El papir Akhmim, el més complet d'aquests textos, mostra clares similituds amb el papir matemàtic Rhind, que té més de 2.000 anys d'antiguitat . Comença amb una extensa taula de multiplicar per a fraccions unitàries i continua amb 50 problemes aritmètics, molts d'ells resolts amb tècniques relacionades amb les utilitzades en la construcció de la taula. La part principal de la taula mostra els productes de 2 / 3 i les fraccions d'unitat de ¹ / 3 a ¹ / 10con les unitats, desenes, centenes i milers. Els productes s'expressen com a sumes de fraccions unitàries, com en l'exemple ¹ / 7 × 1,000 = 142 ¹ / 2 ¹ / 3 ¹ / 42 .

Les notacions numèriques utilitzades en els papirs greco-egipcis esmentats són números alfabètics grecs (Ifrah 1981), utilitzant les lletres alpha-theta per a les unitats, iota-koppa per a les desenes i rho-sant per a les centenes. L'alfabet grec clàssic amb les seves 24 lletres és, per a aquest propòsit, augmentat amb tres lletres obsoletes, el digamma (6), el koppa (90) i el sant (900). Els milers i les miríades (deu mil) s'indiquen amb les lletres alfa-theta amb marques distintives especials. És difícil avaluar l'antiguitat d'aquest sistema, però està documentat en un contracte de matrimoni en un papir d'Elefantina 310 a. C. , en monedes que daten del regnat de Ptolemeu Filadelfo (286-246 a. C.  ), i en papirs amb taules de multiplicar i taules de quadrats de l'última part del segle III a. C.  Des d'aquesta època fins al final de l'Edat mitjana, l'alfabet grec els números van jugar gairebé el mateix paper en el Pròxim Orient i al voltant del Mediterrani oriental que els números romans a Europa occidental. No obstant això, els números alfabètics no eren l'únic tipus de números utilitzats pels antics grecs. En les inscripcions monumentals gregues de la segona meitat del primer mil·lenni a. C. (i també en un famós tauler de comptatge grec) un troba números àtics (o atenesos), amb signes acrofónicos especials per a 1, 5, 10, 5 × 10. . . 5 × 10,000. El sistema numèric de l'àtic tenia la mateixa estructura que el sistema romà més conegut.

5. Antiga Siriana-Palestina. Al voltant de la meitat del mil·lenni 3d AC , Ebla era una ciutat-estat semita florent a Síria. Es va trobar que les restes de la seva rica biblioteca contenen en la seva majoria relats administratius i econòmics escrits en eblaic en tablillas d'argila usant l'escriptura cuneïforme sumèria antiga. Els números utilitzats en aquests comptes són decimals. Un dels textos és un exercici matemàtic, la solució d'un problema de divisió que involucra números alts (Friberg 1986). És el text matemàtic conegut més antic amb nombres decimals. El problema resolt en el text es pot formular de la següent manera: si les racions d'un mes per a un home és 10 / 11 gu-bar d'ordi, a continuació, el número de gu-bar      són necessaris per a les racions diàries de 260.000 (2 dt.-i-ḫo 6 ri-ba x ) homes? Un algorisme intel·ligent i eficient produeix la resposta correcta: 7,879 gu-bar. El número de la resposta està escrit en una notació híbrida decimal-sexagesimal que és típica dels textos cuneïformes semíticos com 7 li 8 el meu 60 + 20 – 1. Un altre text d'Ebla, en sumeri, conté una breu llista de notacions per a números sexagesimals alts . Acaba amb una admissió de derrota: el número 60 × 60 × 60 × 60 (= 12,960,000) -no es pot comptar-, ja que l'escriba no pot pensar en una notació apropiada per a ell. En una llista metrològica OB, el mateix número es denomina "el gran Š̆R que no aconsegueix la mà".

Mari, un lloc avançat de Mesopotàmia en l'alt Eufrates, ha produït alguns textos matemàtics OB (Soubeyran 1984). Els textos comprenen la varietat habitual de taules de multiplicar combinades i taules de recíprocs o arrels quadrades. També hi ha un exercici matemàtic que conté un paral·lel primerenc de la famosa llegenda índia sobre la recompensa exigida per l'inventor del joc d'escacs: si un comença amb 1 gra d'ordi, i si la quantitat d'ordi es duplica tots els dies, com Quant ordi hi haurà després de 30 dies? La resposta, calculada correctament i expressada en el sistema de mesurament de grans de Mari, té una característica inesperada: les paraules lı̄mum i mētum, que normalment signifiquen "mil" i "cent", tenen aquí els valors sexagesimals 600 i 60. Existeixen exemples aproximadament contemporanis de similar naturalesa a Mesopotàmia, que demostren clarament les dificultats causades pel xoc entre les aritmètiques sexagesimals associades amb el sumeri -L'escriptura cuneïforme acadia i les paraules de nombres decimals indígenes de les poblacions semíticas.

La ciutat costanera d'Ugarit, que va florir entre els segles XV i XIII a. C.  , va rebre la influència de la civilització mesopotàmica. Això es demostra clarament, per exemple, en algunes tablillas d'argila trobades en Ugarit, en les quals les llistes metrològiques sumeri-acadias (llistes de notacions per a mesures de capacitat, pes i àrea) estan inscrites en escriptura cuneïforme. En una d'aquestes llistes, les mesures de capacitat s'enumeren des de ¹ / 3 SÌLA (= ¹ / 3 litre) fins a 60 SIG 7 GUR (= 60 × 60 × 60 × 5 × 60 SÌLAS ). En una altra llista, les mesures de pes procedeixen de ¹ / 2 gra a 60 talents (= 60 × 60 × 60 siclos = 60 × 60 × 60 × 3 × 60 grans). Els textos escrits en ugarítico que utilitzen l'alfabet cuneïforme ugarítico sovint expressen números en termes de paraules numèriques ugaríticas i utilitzen el sistema local de mesures de pes. Un bon exemple l'ofereix un breu text (Liverani 1972), que esmenta šb˓.kkr.š˓rt? B.kkr.aḏdd | wbkkr.ugrt ḫmš.kkrm alp.ṯmn mat kbd d mnḥt "set talents de llana en el talent d'Ashdod, però en el talent d'Ugarit cinc talents, mil vuit-cents [siclos] com a tribut". El text sembla donar a entendre que el talent d'Ashdod només valia 4 / 5 del talent d'Ugarit. De fet, 4 / 5 × 7 talents = 53 / 5 talents = 5 talents 1800 siclos, si 1 talent Ugarit = 3000 siclos. La paraula numèrica de major rang en ugarítico és rbt, "miríada", "10,000". Per als -fraccions especials- ¹ / 2 i ¹ / 3 el cuneïforme usual s'utilitzen senyals, però 2 / 3 va ser esmentada pel sumeri / acadio loanword sûnpt (Gordon 1965).

L'ordre de les 30 lletres de l'alfabet cuneïforme ugarítico es coneix a partir de diverses llistes alfabètiques, els anomenats -llibres d'ortografia-, aproximadament del segle XIV AC (Ifrah 1981: lám. 95). Els exemples més antics coneguts de l'alfabet "lineal" fenici, d'altra banda, no es remunten al segle XII a. C.  Les 22 lletres de l'alfabet fenici estan ordenades de la mateixa forma familiar que les lletres dels molts alfabets derivats d'ell: arameu, hebreu, àrab primerenc (veure més a baix), grec, etrusc, romà, etc. A més, si #aqueix 8 lletres s'eliminen de l'alfabet ugarítico que no tenen equivalents en l'alfabet fenici, llavors les lletres restants d'aquest alfabet també s'ordenen en el mateix ordre. Per tant, és probable que l'alfabet ugarítico fos només una variant expandida (en cuneïforme) d'un alfabet semítico del nord-oest primordial que es remunta almenys al segle XV a. C.Aquesta conclusió és important perquè els antics grecs no eren els únics, i probablement no els primers, persones que usaven números alfabètics. Altres exemples són els hebreus i els àrabs. (L'atribució sovint repetida del primer ús de números alfabètics als fenicis, no obstant això, mai ha estat confirmada.) En el cas de l'alfabet hebreu amb les seves 22 lletres, ˒alep – ṭet s'usen per als valors 1-9, iods – ṣade per a 10-90 i qop – tawpor 100-400 (Ifrah 1981: cap. 17). Les unitats de números més alts s'expressen mitjançant combinacions de lletres. En el cas de l'alfabet àrab, la situació es complica pel fet que l'ordre de les lletres d'aquest alfabet ja no és el mateix que quan les lletres van rebre els seus valors numèrics (Ifrah 1981: cap. 21). L'escriptura hebrea primerenca s'usa en inscripcions que daten de l'època dels reis de Judà i Israel (al voltant del segle XI al VI A. C.). Molts d'aquests documents en forma d'ostraca inscrits amb rebuts o missatges simples revelen que no sols es van usar paraules numèriques, sinó també signes de números genuïns per a escriure números. S'han trobat ostraca en Samaria, Laquis, Llaureu, Cades-barnea i el pujol d'Ofel. En tots els casos, els signes numèrics de l'hebreu d'hora són idèntics als números hieràtics egipcis en la forma que tenien durant l'Imperi Nou (Ifrah 1981: cap. 15). Aquesta imatge està confirmada per inscripcions hieràtiques en molts pesos inscrits israelites (Aharoni 1966). Com 4 siclos israelites pesaven el mateix que 5 qedets egipcis ,les pedres de pes de 4, 8, 16 i 24 siclos estan inscrites amb els números hieràtics de 5, 10, 20 i 30. Els millors exemples d'ostraca inscrita amb números són els de Kadesh-barnea (Lemaire i Vernus 1980; 1983). En un d'aquests ostraca, un simple exercici d'escriptura, el número 2.382 es repeteix moltes vegades. Un ostracon particularment gran conté en l'anvers una llista de mesures de capacitat, d'1 a 10 ˒lpm (10,000) kor, una llista de mesures de pes, d'1 a 10 ˒lpm shekels; i una llista de fraccions parcialment inintel·ligible (?).

Com a poble comerciant i viatger, els arameus van imposar gradualment la seva cultura en tot el Mitjà Orient. Els hebreus, que van adoptar l'idioma i l'escriptura dels arameus, també van manllevar la seva manera de denotar números, igual que els fenicis i altres pobles semíticos. Les notacions numèriques aramees es van basar en l'ús de signes separats per a 1, 10, 100, 1,000 i 10,000. Per a les unitats i les desenes es va utilitzar el principi additiu, de manera que, per exemple, 70 es va escriure com 7 desenes, agrupades de dues en dues perquè el resultat semblés 20 + 20 + 20 + 10. Per a les unitats de rang superior, el principi multiplicador es va usar, de manera que 18,000 es va escriure com 1 × 10,000 + 8 × 1,000 (Ifrah 1981: caps. 19, 25). Es poden trobar exemples de notacions numèriques aramees en molts papirs conservats de la colònia militar mongeta establerta en el segle V.BC a l'illa d'Elefantina, al Nil. Un ostracón bilingüe trobat en Khirbet-el-Kom, un lloc a Israel entre Laquis i Hebron, data del segle III AC. Esmenta dues vegades, una en grec i una altra en arameu, una suma de 32 dracmes. En la part grega del text, 32 s'escriu com a lambda beta, en la part aramea com 20 + 10 + 2.

Els exemples més antics de l'ús de números alfabètics hebreus poden remuntar-se a la fi del segle II i I A. C. , és a dir, una sola lletra mem per a una data d'un any en un segell d'argila, i la lletra gimel com un número de fulla en un pergamí. rotllo trobat en Khirbet Qumran (Ifrah 1981: cap. 18). Altres exemples són oferts per monedes amb inscripcions com "Shekel d'Israel any 5 (ell) " (copejat durant la primera rebel·lió jueva, 70 D. C. ), i "Any 2 (aposta) de l'alliberament d'Israel" (des de l'època de la segona rebel·lió jueva, AD 132-34), etc. Les dates relativament tardanes d'aquests primers exemples suggereixen que la numeració alfabètica hebrea es va introduir com a resultat de la influència grega. Com a qüestió de fet, entre el segle 1 AC i el segle setè AVÍS , quan la numeració alfabètica hebreu es va fer cada vegada més comuna en el món jueu, molts escribes jueus en la diàspora prefereixen utilitzar els numerals alfabètics grecs.

B. Números en la literatura poètica i religiosa     

1. Sumero-acadio. En el mite sumeri El descens d'Inanna a l'inframón. ( ANET , 55), Inanna ha de renunciar, un a un, als seus 7 símbols- JO , la seva corona, la seva perruca, la seva vara de mesurar i la seva línia, etc., mentre entra per les 7 portes a l'inframón. El seu cadàver és penjat d'una estaca durant 3 dies i 3 nits, però torna a la vida quan "seixanta vegades l'aliment de la vida, seixanta vegades l'aigua de la vida, el van ruixar".     

Tres fonts (dos textos OB i ​​la història babilònica de Berossos) contenen llistes dels reis sumeris que van regnar abans del Diluvi, tots caracteritzats per una longevitat sorprenent (Langdon 1923). En W.-B. 444, 8 reis antediluvià de cinc ciutats es diu que han regnat durant 8, 10, 12, 8, 10, 8, 8, 55 / 6 i 51 / 6 SR (és a dir, 3600) anys, o per a un total d'1 SR GAL 7 SR (= 67 × 3.600) anys. En W.-B. 62, 10 reis regnen durant 2 šár-gal 7 šár anys, i Berossos esmenta 10 reis que regnen durant un parell de 432.000 (2 Š̆R-GAL ) anys.

L'epopeia  de Gilgamesh va gaudir d'una popularitat sense precedents en la literatura cuneïforme; les seves edicions conegudes, en quatre idiomes diferents, s'estenen en el temps des del segle XXI al VI AC , i la seva procedència des de S Mesopotàmia fins a Anatolia (Thompson 1928; Schott i von Soden 1969). Un dels seus trets distintius és la tendència a utilitzar els números com a eina literària. Aquesta tendència és en part conseqüència de l'important paper exercit per l'ensenyament de les matemàtiques i la metrologia a l'escola sumèria tardana / babilònica antiga, l'eduba.Per  a esmentar alguns exemples: Gilgamesh, l'heroi diví, és "dos terços diví, un terç humà", mesura 11 colzes d'altura. Enkidu, el seu company, "s'entreté sis dies, set nits amb la noia cortesana en el seu aparellament". Els dos estan carregats cadascun amb destrals i espases que pesen 10 talents (600 mines). La porta d'Uruk, la ciutat de Gilgamesh, té 7 forrellats. De camí al Bosc dels Cedres, els herois "trenquen el dejuni després de vint ‘hores dobles’, descansen després de les trenta"; després de 3 dies han cobert la distància d'Uruk al Líban. Humbaba aixeca 8 vents contra ells. Les invitacions d'Ishtar són rebutjades per Gilgamesh, qui acusa la deessa de cavar "set i set" pous per a atrapar al lleó que mestressa. Ishtar convoca al Toro Celestial, amenaçant amb 7 anys de fam. L'alè del toro mata a 100 homes d'Uruk, 200, 300. Enkidu jeu en el seu llit de mort -per un dia, un segon dia. . . un onzè i un dotzè ". Gilgamesh segueix el curs del sol, a través de la muntanya de la foscor, durant 12 "hores dobles". Per a creuar les Aigües de la Mort, modela pals de remar 5NINDAN (60 colzes) de llarg i usa un, un segon ,. . . , un dotzè; després de 2 vegades 60 s'han gastat tots. Utnapishtim li explica com va fer el seu vaixell 10 NINDAN alt, 10 NINDAN quadrat a dalt, va dividir les seves entranyes i ho va untar amb 6 vegades 3,600 mesures de betum; al setè dia es va acabar el treball. Gilgamesh no passa la prova d'immortalitat, en evitar dormir durant 6 dies i 7 nits. El temps que dorm, 7 dies en total, està anotat en la paret de la casa i marcat pels 7 trossos de pa enfornats per a ell però no menjats.

The Babylonian Story of the Flood (Lambert i Millard 1969) és un altre exemple d'una obra literària cuneïforme amb números interessants. Comença amb una descripció de la misèria dels déus, resumida en un passatge difícil amb la traducció dubtosa: -Els set grans Anunnakū estaven fent sofrir als Igigū – (veure més a baix). Més tard, s'esmenta com Bēlet-kāla-ilı̄, Senyora-de-Tots-els-Déus, -va tallar 14 trossos d'argila, 7 va posar a la dreta, 7 a l'esquerra. . . 7 i 7 deesses del naixement, 7 van produir mascles, 7 van produir femelles ". Un motiu que es repeteix amb freqüència és el lament "2 vegades encara no havien passat 600 anys, quan la terra es va estendre i els pobles es van multiplicar".

La prominència del número 7 en els exemples citats és evident. Hehn (1907) cita molts més exemples de fonts mesopotàmiques i d'altres fonts. L'etimologia de la paraula semítica per a "7" no és clara i no es pot utilitzar per a explicar la popularitat d'aquest número en particular. L'explicació correcta pot ser simplement que 7 és un nombre imparell de grandària convenient. També és el primer número "no regular" en el sentit de les matemàtiques OB (no és divisible exclusivament per 2, 3 i 5). Hehn proposa que "7" pot tenir, en molts casos, el significat simbòlic d'innombrables "". El zigurat d'Uruk, per exemple, tenia 7 històries. Alguns textos lèxics o bilingües tradueixen "7" (però també "40" i "50") amb kisûsûatu, una paraula que significa "totalitat". L'exemple més clar és probablement el babilònic-assiri d 7-bi o il si-bit-et, els "Set Déus", sovint esmentats juntament amb, o en lloc de, els "Grans Déus" i tots els "Déus Coneguts i Desconeguts". Els Set Déus estan associats amb els enigmàtics Anunnakū i Igigū (veure RLA sv Igigu), que a vegades són responsables de tota mena d'esdeveniments desfavorables, a vegades representatius de tots els déus en els cels o en la terra. Els criptogrames interessants per a Anunnakū i Igigū són 1 10 i 5 1 1. El primer d'aquests criptogrames pot tenir el valor 1 (60) × 10 = 600, l'altre tots dos 5 (60) × 2 = 600 i 5 + 1 + 1 = 7.

Un text de taula metrològica NB d'Uruk (von Weiher i Friberg, inèdit) comença amb una taula de "números místics" dels déus. Després d'algunes línies danyades, segueixi les equacions d 7 – bi = [7], d I – gi 4 – gi 4 = 8, d A – nun – na – ki = 9. La taula continua, assignant els números 10, 20, 30, 40, 50 als grans déus Bēl, Shamash, Sı̂n , Ea i Enlil. Aquest segon grup de números místics apareix també, amb alguns altres, en un text místic de NA (Livingstone 1986: 30) que enumera -noms de Sı̂n, -El déu de la lluna. #Aqueix text assigna a Anu, "pare dels déus", el número 1 (o 60). Un text relacionat ( ibíd. , 22) comença esmentant els dies del mes associats amb Sı̂n : el dia 7, el dia 14, el dia de la lluna plena (sûapattu), etc. Continua amb una sèrie de "metamatemáticas" equacions. Un exemple serà suficient: es diu que el dia 22 està associat amb el dia 14, perquè 14 × 10 = 140 = 2 20 (base 60), i si s'inverteix l'ordre dels dígits, llavors 2 20 es converteix en 20 (+ ) 2 = 22. Els números 40 i 50 apareixen com a ideogrames per a déus ja en textos del tercer mil·lenni.

El raonament metamatemático també pot estar darrere del fet que 3 20 apareix com un criptograma per a "rei" en els textos de presagi cuneïforme. De fet, 20 (el número del déu sol) és un ideograma comú per a šarru , "rei", i 20 × 10 = 200 = 3 20 (base 60). Altres criptogrames comuns en els textos de presagi són 15 per a imittu, "dreta" i 2 30 (= 15 × 10) per a šumēdl., "esquerra". Segons un famós passatge d'una inscripció del rei Sargón II de NA, el mur que envoltava la seva ciutat Dur Sharrukin (Khorsabad) mesurava 4 (3600) 3 (600) 1 (60) 3 (6) 2 colzes. Aquest és també, diu Sargón en la inscripció, "el número del meu nom". En un esforç per explicar aquesta declaració críptica, un pot resoldre el nom del rei en les seves parts constituents šarru-kı̄nu. La primera part del nom es pot reemplaçar pel criptograma 3 20, la segona part pel sumerograma GUB (la imatge d'un peu). Un signe amb la mateixa pronunciació és GUB 3 (la imatge d'un braç esquerre), que és un sumerograma de šumēdl., "esquerra" i es pot equiparar amb 2 30. D'aquesta manera, el nom del rei pot expressar-se mitjançant el criptograma 3 22 30, un número sexagesimal amb 5 "unitats" i 5 "desenes". La longitud de la muralla de la ciutat transformada a la notació de valor posicional sexagesimal és 4 31 20, un altre número amb 5 "uns" i 5 "desenes" i, per tant, també un altre criptograma per a "Sharrukin" o "Sargon".

2. Ugarítico. Igual que l'epopeia  mesopotàmica de Gilgamesh , els textos poètics ugaríticos (Gordon 1949) exhibeixen una pronunciada tendència a utilitzar els números com a eina literària. En el cicle de Baal i Anat, per exemple, els "números escalonats" és un tema recurrent: per a la decoració de la casa de Baal, Ḫasis "vessa plata per milers, or vessa per miríades". Baal declara que "mil šd la casa comprendrà, una miríada de kmn el palau" ( šiddu i kumani      són, respectivament, préstecs acadio i hurrita per a una determinada unitat ugarítica d'àrea i mesura de longitud). Una variant d'aquest tema involucra desenes i unitats juntes: Les conquestes de Baal són immenses, -Ell va prendre seixanta-sis pobles, setanta-set ciutats, vuitanta, Baal. . . noranta, Baal ". Abans de descendir a l'inframón, prenya una novilla: -Es fica al llit amb ella setanta-set vegades. . . vuitanta-vuit vegades, perquè concebi ". Un altre tema recurrent és la -sèrie climàtica de números-, com quan la casa de Baal es converteix en or i plata per l'aplicació del foc diví: -Heus aquí un dia i un segon. . . un tercer i un quart. . . un cinquè i un sisè, el foc devora la casa. . . al setè dia el foc surt de la casa ". Una sèrie climàtica similar apareix en un passatge de la cançó hitita d'Ullikummis.( ANET , 122): -Van beure una vegada, van beure dues. . . van beure set vegades; i Kumarbis va començar a parlar ".

Els recursos estilístics esmentats anteriorment s'apliquen també en l'Epopeia  de Keret. En un somni, El li adverteix al rei Keret: -Per un dia i un segon, un tercer dia, un quart dia, un cinquè dia, un sisè dia, no enviïs les teves fletxes cap a la ciutat. . . heus aquí, a l'alba del dia set, el rei Pbl no dormirà ". Keret fa un vot: -Si puc portar a Ḥurrai a la meva casa. . . Donaré el doble del seu preu en plata, el triple del seu preu en or ". "Grans números", que comencen amb 3.000.000, s'utilitzen en la descripció "El teu exèrcit, una gran host: tres-centes miríades ( ṯlṯ mat.rbt), tropes sense número, soldats sense comptes. . . disposades de dos en dos, mira-les totes disposades de tres en tres ". Les primeres línies de l'epopeia són difícils de traduir. En general, s'assumeix, potser per error, que esmenten una seqüència de fraccions unitàries que sumen (gairebé) exactament 1. La difícil situació del rei Keret es descriu de la següent manera: -Destruïda està la casa del rei, que tenia set germans , (hi havia) vuit fills d'una mare. . . un terç va morir en néixer, un quart per malaltia, un cinquè per la pestilència acumulada, un sisè per la mar enfonsada, un setè d'ells va caure a espasa. . . una família ha mort ". En l'Epopeia  d'Aqhat, un cicle d'anys d'escassetat es descriu amb les paraules -Set anys pot fallar Baal, vuit el Genet dels núvols, sense rosada, sense pluja. . . "

3. La Bíblia.     Els -números graduats- és un recurs estilístic d'ús freqüent en l'Antic Testament. En Deut 32:30, hi ha dos parells vinculats de números graduats: -Com es deu un perseguir mil, i dos posar a deu mil en fugida, excepte? . . el Senyor els havia tancat? En Isa 17: 6, la ruïna de Damasc es descriu en la paràbola -en ella es deixaran raïm rebuscat. . . dues o tres baies en la part superior. . . quatre o cinc en les branques més fructíferes -. Una gradació més elaborada es pot trobar en Gènesi 4.24, "Si set vegades serà venjat Caín, en veritat Lamec setanta-set vegades". En Amós 1: 3-2: 15, el Senyor diu: -Per tres pecats de Damasc, i per quatre, no revocaré el seu càstig-, després de la qual cosa segueix una llista de 8 transgressions i càstigs. En Gènesi 1 apareix una -sèrie culminant de números-: -I va ser la tarda i el matí el primer dia. . . el sisè dia. . . i en el setè dia Déu va acabar l'obra que havia fet ".

Grans números ocorren amb freqüència en l'Antic Testament. , un excés que va haver de ser redimit per 5 × 273 = 1365 siclos del santuari. A vegades són simbòliques o hiperbòliques, com en el somni de Daniel en Dan 7.10: -mil milers li servien, i deu mil vegades deu mil estaven davant d'ell- (cf. Ap. 5.11). Segons Dahood (1981), el passatge difícil Sal 4: 8 pot traduir-se, -Posa goig en el meu cor; cent mil vegades (mā˓ōt) sigui ​​el seu blat, i el seu vi deu mil vegades (rabbû) -De manera similar en Isa 48:19,- La teva descendència hauria estat com la sorra, i el flux del teu cos com els seus cent mil grans -(cf. Gen 41:49,- I José va recollir blat com la sorra de la mar, molt, fins que va deixar la numeració, perquè era sense número -). La sorra com a símbol de l'innombrable "" apareix també en Gènesi 23.17, on el Senyor li promet a Abraham: "Multiplicaré la teva descendència com les estrelles del cel, i com la sorra que està arran de mar".

Diversos números ocorren amb freqüència en la Bíblia i tenen un significat simbòlic o cultural, en particular "7" (Gen 41:26, "Les set vaques bones són set anys; i les set orelles bones són set anys; el somni és un"), però també, per exemple, "3" (Job va ser beneït amb 7 fills i 3 filles), "4" (4 rius van brollar del jardí de l'Edén), "10" (el nombre d'homes justos necessaris per a salvar Sodoma), "12" (els fills de Jacob eren 12), "40" (el nombre d'anys que els israelites van vagar pel desert), "70" (Jer 25:11, "aquestes nacions serviran al rei de Babilònia setanta anys") , -1,000- (veure a dalt), i molts números derivats d'aquests. Els exemples es poden multiplicar. A més, molts números bíblics (així com talmúdics o midráshicos) tenen una estructura sexagesimal (2 Cròniques 2: -I Salomón va dir a seixanta mil homes que portessin càrregues, i vuitanta mil per a tallar en la muntanya, i tres mil sis-cents per a vigilar-los -; Gènesi 8: 6, -I Noè tenia sis-cents anys quan el diluvi de les aigües va caure sobre la terra-).

S'han fet molts intents per a trobar correlacions entre la secció antediluviana de la Llista de reis sumeris i la genealogia en Gènesi 5. La inutilitat de tals intents és òbvia en vista del fet que hi ha tres ofertes per a la durada total dels regnats dels sumeris. reis abans del Diluvi (67, 127 i 120 vegades 3.600 anys), mentre que en la Bíblia hebrea els anys entre la creació i el Diluvi són 1.656, en la Septuaginta 2.262 i en la recensió samaritana 1.307. No hi ha una regularitat discernible en les edats enumerades dels patriarques en el moment en què van engendrar al seu primer fill o en el moment de la seva mort. D'altra banda, Noè tenia fins i tot 500 anys quan va engendrar a Sem, Cam i Jafet, i 600 en el moment del Diluvi. Lamec va viure 777 anys, fins a 5 anys abans del Diluvi, i Matusalén va viure 969 anys. només per a morir en el Diluvi. Enoc va viure durant 365 anys, o durant tants anys com dies hi ha en un any.

En Apocalipsi 7-9 s'esmenten molts números interessants. Per a esmentar alguns exemples: "quatre àngels dempeus en els quatre angles de la terra, sostenint els quatre vents de la terra", "i van ser segellats cent quaranta-quatre mil de totes les tribus dels fills d'Israel", -I quan va haver obert el setè segell, va haver-hi silenci en el cel per espai de mitja hora; i vaig veure als set àngels que estaven davant de Déu; i se'ls van donar set trompetes -,- i el quart àngel va tocar, i la tercera part del sol va ser ferida -,- i el número de l'exèrcit dels genets va ser dos-cents mil -. Encara més interessant és el conegut passatge en Apocalipsi 13.18, -El que té enteniment, compti el nombre de la bèstia; perquè és el número d'un home; i el seu número és sis-cents seixanta-sis. És raonable suposar que aquest -número de la bèstia- hauria d'explicar-se interpretant les lletres d'algun nom detestat com a números alfabètics (Ifrah 1981: 332). El problema ha provat l'enginy dels intèrprets durant segles i s'han proposat moltes solucions diferents. Si, per exemple, el nom de Nero s'escriu comonrw (n) ḳsr , llavors la suma dels valors de les seves lletres és igual a 100 + 60 + 200 + 50 + 200 + 6 = 616, o a 616 + 50 = 666. Per a trobar el sentit ocult proposat de Moltes paraules o passatges de les Escriptures, una espècie de numerología anomenada gematria (del grec  geometria ) es va desenvolupar en les literatures Talmúdica, Midrashica i Cabalística (Ifrah 1981: 321-36). La idea bàsica era interpretar paraules, o grups de paraules, calculant les sumes de les seves lletres constituents com a números alfabètics, i relacionant les paraules entre si si sumaven les mateixes sumes de lletres. Per a citar només un exemple: la diferència entre les sumes de lletres dels noms hebreus d'Adán i Eva (ḥawah) és (1 + 4 + 40) – (8 + 6 + 5) = 45-19 = 26, i 26 és la suma de lletres de YHWH.

Bibliografia

Aharoni, I. 1966. L'ús dels números hieràtics en hebreu Ostraca i el Shekel Weights. BASOR 184: 13-19.

Dahood, M. 1981. Ebla, Ugarit i la Bíblia. Epíleg en G. Pettinato, Els Arxius d'Ebla. Garden City, Nova York.

Englund, RK 1987. Cronometratge administratiu en l'antiga Mesopotàmia. JESÓ 31: 121-85.

Friberg, J. 1984. Números i mesures en els primers registres escrits. Científic americà. 250: 110-18.

—. 1986. Tres textos notables de l'antiga Ebla. Vicino Orient. 6: 3-25

Gillings, RJ 1972. Matemàtiques en l'època dels faraons. Nova York.

Gordon, CH 1949. Ugaritic Literature. Roma.

—. 1965. Ugaritic Textbook. AnOr 38. Roma.

Hehn, J. 1907. Set números i el dissabte, entre els babilonis i en l'Antic Testament. Leipzig.

Ifrah, G. 1981. Història universal de les figures. París.

—. 1985. De l'u al zero: una història universal dels números. Nova York.

Knorr, W. 1982. Tècniques de fraccions en l'Antic Egipte i Grècia. Hist Math. 9: 133-71.

Lambert, WG i Millard, AR 1969. Atra-Ḫası̄s: The Babylonian Story of the Flood. Oxford.

Langdon, S. 1923. The Weld-Blundell Collection. Vol. 2, inscripcions històriques. OECT 2. Londres.

Le Brun, A. i Vallat, F. 1978. L'origen de l'escriptura en Susa. Quaderns de la delegació arqueològica francesa a l'Iran 8: 11-59.

Lemaire, A. i Vernus, P. 1980. The Paleo-Hebrew ostraca of Qadesh-Barnéa. O 49: 341-45, pl. 71-73.

—. 1983. L'ostracon paleo-hebreu N o 6 Tell Qudeirat (Kadesh Barnea). Pàgines. 302-26, pl. 6 a Fontes atque Pontes. ÄAT 5.

Liverani, M. 1972. Talent d'Ashdod. OrAnt 11: 193-99.

Livingstone, A. 1986. Obres explicatives místiques i mitològiques d'erudits assiris i babilònics. Oxford.

Neugebauer, O. i Sachs, A. 1945. Textos matemàtics cuneïformes. AOS 29. Lancaster, PA.

Parker, RA 1972. Papirs matemàtics demòtics. Providence, RI.

Robins, G. i Shute, CCD 1987. El papir matemàtic de Rhind: un text egipci antic. Londres.

Schmandt-Besserat, D. 1977. Un sistema de gravació arcaic i l'origen de l'escriptura. SMS 1. Malibu.

—. 1980. Els sobres que porten la primera escriptura. Tecnologia i cultura 21: 357-85.

—. 1981. De tokens a tauletes: una reavaluació de les anomenades "tauletes numèriques". Idioma visible 15: 321-44.

Schott, A. i Soden, W. von. 1969. L'epopeia de Gilgamesh. Stuttgart.

Soubeyran, D. 1984. Textos matemàtics de Mari. RA 78: 19-48.

Thompson, RC 1928. L'epopeia de Gilgamish. Londres.

      JÖRAN FRIBERG

[16]