Matemàtiques, àlgebra i geometria

MATEMÀTIQUES, ÀLGEBRA I GEOMETRIA. No és possible parlar de cap matemàtica bíblica específica . Ni l'AT ni el NT van ser producte de cultures que portessin una tradició matemàtica pròpia per sobre del nivell normal de "matemàtiques populars". Però tots dos Testaments van ser producte de cultures en contacte amb tradicions matemàtiques ben establertes i sofisticades.

Un d'ells és la tradició sumeri-babilònica, coneguda per una gran quantitat de tablillas cuneïformes. Encara que probablement menys vigorosa que en el 2d mil·lenni primerenc AC , aquesta tradició encara estava viu durant l'exili de Babilònia. A més, aparentment es va reflectir en l'educació dels escribes i en les formes dels practicants en tota l'àrea de Síria durant el segon i gran part del primer  mil·lenni a. C. 

Una altra tradició matemàtica d'una certa importància per a l'AT és la de l'antic Egipte. Ja a mitjan 2d mil·lenni ABANS DE CRIST Síria va ser política i comercialment connectat a Egipte; la història de José en Gènesi mostra una visió israelita sobre precisament les característiques de l'economia egípcia que van modelar les matemàtiques egípcies; i en els segles de la monarquia dividida, els israelites van adoptar l'escriptura numèrica hieràtica egípcia.

El NT va ser escrit en el món hel·lenístic i en grec. Malgrat això, l'alt nivell "teòric" de les matemàtiques gregues no ha deixat rastres en el text del NT. No obstant això, diversos corrents quasi filosòfics que depenen de les matemàtiques teòriques gregues es reflecteixen tant en el text del NT com en els comentaris exegètics antics i medievals.

—

A. El substrat "folk"

B. Matemàtiques babilòniques

C. Descendents sirians

D. Matemàtiques egípcies

E. Matemàtiques gregues i hel·lenístiques i les seves conseqüències

—

A. El substrat "folk"

Molt abans que el coneixement matemàtic es manllevés de les tradicions matemàtiques veïnes d'alt nivell, els primers hebreus eren bàsicament competents en numeració i metrologia. Això es deriva principalment d'arguments indirectes: l'evidència suggereix que el seu nivell cultural i context eren tals que necessitaven conceptes matemàtics (especialment en les relacions comercials amb uns altres), igual que totes les poblacions del Pròxim Orient en els mil·lennis 2 i 1 a. C.  Els arguments lingüístics donen suport a la conclusió i informi'ns al mateix temps dels límits probables de les habilitats de comptar de la "gent": heb mē˒ot, "cent", és una paraula semítica comuna. Heb lĕ˒ōm, "el poble", d'altra banda, correspon a Akk lim, "mil", mentre que Heb ˒elep, "mil", correspon a l'etíop "deu mil". Els ancestres comuns dels diferents grups semites s'han comptat per tant en els centenars abans de separar-se, no més tard del quart mil·lenni ABANS DE CRIST ; però no poden haver comptat rutinàriament en milers. Quan això es va fer necessari, les diferents branques van manllevar termes de manera independent entre si.

Un rastre d'actituds "primitives" cap als números i el comptatge es pot trobar en 2 Samuel 24 (i 1 Cròniques 21), on David compta al seu poble i és castigat per la seva temeritat. Aquesta por (o tabú) de comptar les pertinences està de fet generalitzat entre poblacions que no estan familiaritzades amb els estats i l'administració centralitzada o estan allunyats d'ells.

Tant per la gran quantitat de persones involucrades com perquè no hi ha rastres aparents de tal allunyament dels camins de la civilització, els molts altres censos trobats en l'Antic Testament no poden connectar-se a aquest substrat etnomatemático. L'aparició de la metrologia babilònica prestada (el šeqel ), utilitzada en les proximitats dels censos importants en el llibre de Números, també parla a favor d'un possible préstec dels hàbits i tècniques de les civilitzacions més antigues veïnes.

B. Matemàtiques babilòniques

La matemàtica babilònica va ser, a l'origen, una descendència de la civilització primerenca, entesa etimològicament com a formació incipient de l'estat. Bàsicament, era una activitat d'escribes, realitzada per escribes i practicants similars i utilitzada amb finalitats pràctics, i atès que gairebé totes les aplicacions pràctiques de les matemàtiques abans de l'era clàssica consistien en el càlcul d'alguna cosa, l'etiqueta poc ortodoxa de "càlcul babilònic" encaixaria millor amb l'esforç. que el nom "matemàtiques" (que, no obstant això, s'utilitzarà a continuació).

Això no significa que les matemàtiques babilòniques consistissin en res més que un conjunt de fórmules dels practicants. En primer lloc, com s'argumentarà a continuació, les calculadores babilòniques sabien el que estaven fent i per què ho feien. En segon lloc, com molts entorns professionals que feien un ús intensiu de les matemàtiques, la cultura d'escribes babilònica va produir un nivell de problemes teòrics (és a dir, pràcticament no rellevants en la pràctica) particularment complexos amb les tècniques auxiliars, especialment en el camp de l'àlgebra.

Tradicionalment, només les matemàtiques dels períodes babilònic antic i selèucida s'han investigat i discutit en la literatura. No obstant això, des de mitjan dècada de 1970 d'ara endavant, s'han descobert diversos textos que esbossen el desenvolupament de les matemàtiques babilòniques des dels començaments proto-sumeris al voltant del 3000 a. C.  fins als períodes babilònic tardà i selèucida. Alguns d'aquests textos i les conclusions extretes han estat publicats; però altres (a partir de febrer de 1989) només s'han presentat en els Tallers sobre Desenvolupament de Conceptes en Matemàtiques (Berlín Occidental, 1983, 1984, 1985, 1988), especialment per Jöran Friberg, Peter Damerow, Robert Englund i Marvin Powell, Jr.

Ja molt abans de finals de l'IV mil·lenni, a la regió del Pròxim i Mitjà Orient s'havia utilitzat un sistema de registre o comptabilitat aritmètica basat en petites fitxes d'argila (Schmandt-Besserat 1977). En el període Uruk IV (finals de l'IV mil·lenni, el període de formació de l'Estat que també va ser testimoni del desenvolupament de l'escriptura), aquest sistema sembla haver inspirat tant el desenvolupament de l'escriptura com el de les notacions numèriques i metrològiques. Pel que fa a les matemàtiques, es va iniciar una tendència cap a l'harmonització dels diferents sistemes. Així que la unitat d'àrea SAR (aparentment significa una parcel·la de jardí, l'àrea a ser regada d'un sol pou i, en qualsevol cas, una "unitat natural") va arribar a entendre's com el quadrat de la unitat de longitud bàsica (el NINDAN , ≈ 6 metre) i, en general, tot el sistema de mesures d'àrea es va adaptar al sistema lineal (vegeu Powell 1972). A més, es van desenvolupar metrologies de subunitats, fins on es pot jutjar, més enllà del rang del sistema tradicional. Tot el sistema estava interconnectat d'una manera que aviat va permetre càlculs coherents que vinculaven extensions aritmèticament lineals, àrees, temps i altres quantitats que pertanyien juntes en la pràctica tècnica o social (part dels antecedents d'aquestes declaracions només s'ha presentat en tallers i és com encara inèdit, però vegin-se, per exemple, alguns exemples presentats per Friberg [1984] i la descripció general implícita en Damerow i Englund 1987).

Sens dubte, les matemàtiques proto-sumèries van ser creades amb el propòsit de l'administració pràctica en el que l'antropologia econòmica flama una -economia redistributiva-; la substitució d'unitats naturals però no connectades per un complex de metrologies connectades matemàticament que corresponen a les necessitats del funcionari de planificació i comptabilitat més que a les del productor immediat. Però la complexitat del sistema sembla anar més enllà fins i tot de les necessitats burocràtiques. Encara que és difícil distingir possibles tablillas escolars de textos indubtablement administratius (només aquests últims contenen noms de funcionaris), és per tant una suposició justa que l'arrel immediata de la reorganització d'un conjunt de tècniques aritmètiques com a matemàtiques coherents va ser l'ensenyament a l'escola del temple (això es discuteix més de prop en Høyrup 1980: 14-17).

L'administració primerenca sembla no haver distingit la burocràcia d'altres funcions sacerdotals, i res en la substància matemàtica distingeix els possibles exercicis escolars d'altres textos de càlcul. Només al voltant de la mediats 3d mil·lenni és el terme per a escriba ( DUB-SAR) trobat en les fonts; En aquest moment també ens trobem amb l'ús no burocràtic de les eines professionals dels escribes: textos literaris i exercicis matemàtics més enllà del context de l'administració diària, aquest últim tractant, per exemple, amb la divisió de números extremadament grans per divisors irregulars com 7 i 33 ( un tema que domina el petit grup d'exercicis matemàtics de mitjan tercer mil·lenni de Šuruppak i Ebla; vegin-se Friberg [1986: 16-22]; Høyrup [1982]). Encara que tals problemes no hauran tingut un paper significatiu en l'administració pràctica, evidentment van ser una preocupació central per a una professió d'escrivà que provava les seves pròpies habilitats intel·lectuals.

La tendència cap a una creixent regularització va continuar al llarg del tercer mil·lenni i es va materialitzar en Ur III (segle XXI AC ) (vegeu Powell 1976). A principis del període Ur III es va implementar una reforma administrativa que va fer un ús extensiu d'una comptabilitat sistemàtica i extremadament meticulosa. Sembla probable que va ser per al seu ús en aquest context que es va crear el sistema de valor posicional sexagesimal. Veure NÚMEROS I COMPTAR. No s'han trobat exercicis escolars de matemàtiques que apuntin més enllà del domini administratiu i, a partir de paral·lelismes en altres dominis culturals, sembla ser una suposició raonable que l'estat centralitzat havia esgotat les fonts per a l'autonomia dels escribes i, per tant, per a un major desenvolupament de les matemàtiques no utilitàries.

Les matemàtiques no utilitàries van ser, d'altra banda, fonamentals per a les matemàtiques OB , que estan ben documentades en les fonts (1900 a 1600 a. C.  , principalment la segona part d'aquest període de temps). En aquest període, que es va caracteritzar per una economia altament individualitzada (en comparació amb altres cultures de l'Edat del Bronze) i per una ideologia que emfatitzava a l'individu com a persona privada, l'escola d'escribes va desenvolupar un pla d'estudis que emfatitzava el virtuosisme més enllà del pràcticament necessari; els triomfs de les matemàtiques "pures" babilòniques, no menys l'àlgebra "", semblen ser un producte precisament d'aquesta escola d'escribes OB i ​​cultura d'escribes (veure Høyrup 1985: 10-16).

Fins a Ur III, tots els textos matemàtics havien estat en sumeri; fins i tot en Ebla de parla semítica, les matemàtiques sumèries es van assumir en l'idioma original. Les antigues matemàtiques babilòniques, per contra, van ser escrites en acadio, evidència suplementària que representen un nou gènere i una ruptura amb la tradició Ur III (plausiblement més purament utilitària). És cert que bastants textos estan escrits predominantment per mitjà de logogramas sumeris; però l'anàlisi gramatical mostra que tots, excepte un grapat d'aquests signes de paraules, són simplement representacions el·líptiques de paraules i oracions acadias.

Moltes taules matemàtiques des del període OB d'ara endavant són compilacions que contenen una varietat de problemes diferents. Sovint, els problemes utilitaris i teòrics es troben junts; però els assumptes matemàtics i no matemàtics generalment no es tracten en els mateixos textos. Òbviament, les matemàtiques OB no es van dividir en disciplines completament distintes; d'altra banda, les matemàtiques en el seu conjunt eren una preocupació autònoma, tal vegada fins i tot (en forma d'enginyeria, agrimensura i comptabilitat, o com a especialitat docent) una vocació distinta.

En 1600 AC, la conquesta kasita va posar fi a l'ordre social OB, a l'antiga escola d'escribes, a la ideologia característica de l'escrivà OB, i al mateix temps a la forma característica de les matemàtiques OB. La formació d'escribes va ser a partir d'ara proporcionada per -famílies- d'escribes com a aprenentatge; i així, fins a un cert punt, la matemàtica va arribar a barrejar-se amb altres assignatures en les mateixes tablillas, havent perdut la seva autonomia disciplinària. El "matemàtic" a partir d'ara s'identificaria a si mateix en els colofons de les taules, per exemple, com a "exorcista" ( Akk āšipu ) o "sacerdot" ( Akk šangû ).

En els primers segles després de la conquesta kasita, els textos matemàtics són pràcticament inexistents, encara que recentment s'han descobert algunes tablillas matemàtiques de Babilònia tardana (una d'elles apareixerà en Friberg i Hunger, fc. ). En l'era selèucida, el desenvolupament de l'astronomia computacional (començant ja sota els aquemènides) va donar lloc a un renaixement de la computació numèrica i, com a seqüela, d'alguns dels vells problemes teòrics.

Com ja es va dir, les matemàtiques babilòniques realment signifiquen "computació". En els càlculs intermedis va utilitzar el sistema de valor posicional sexagesimal. Veure NÚMEROS I COMPTAR. L'ús d'aquest sistema i la conversió de valors metrològics en -números purs- (i al revés, després que es va trobar un resultat) pressuposava un ús extensiu de taules matemàtiques, metrològiques i tècniques. El primer grup comprèn taules de multiplicació i de recíprocs (la divisió m / n es va realitzar com una multiplicació m ∙ ¹ / n ), taules de quadrats i arrels quadrades i de cubs i arrels cúbiques, taules de l'arrel n de n 3 + n 2, i fins i tot bastantes taules de potències successives d'un número. El segon grup conté conversions tabulades de valors metrològics en múltiples sexagesimals de la unitat bàsica i taules tècniques que contenen "factors fixos" per a ser utilitzats en el càlcul tècnic (la relació entre el diàmetre al quadrat i l'àrea d'un cercle; la quantitat de maons a ser transportat per un treballador a una distància determinada en un dia).

Els continguts bàsics de la matemàtica utilitària babilònica corresponen a les següents taules: taules de multiplicar, taules de recíprocs, taules metrològiques (que eren ajudes per al càlcul) i taules tècniques que constituïen el nexe entre el càlcul matemàtic i la realitat administrativa i d'enginyeria. Les matemàtiques s'ensenyaven a l'escola perquè els escribes havien de poder calcular les àrees dels camps, el volum dels canals que s'excavarien i de les rampes de setge que es construirien i, no menys important, la mà d'obra necessària per a aquestes tasques. Tots aquests càlculs es van fer gairebé com es farien avui, amb una excepció important: els babilonis no tenien el concepte d'angle quantificable i, per tant, gens similar a la trigonometria. En el mesurament pràctic, dividirien camps complicats en triangles "pràcticament rectes", Trapezis -pràcticament correctes- i quadrangles -pràcticament rectangulars- (distingint, podríem dir, un angle -correcte- d'un -incorrecte-). Després calcularien com ho fem nosaltres, sabent que els seus resultats no eren la veritat absoluta, però aparentment sense tenir una idea definida sobre la naturalesa i la grandària dels errors. És de suposar que no veurien una diferència decisiva entre la imprecisió dels càlculs de mà d'obra i els de les determinacions de superfície.

Amb aquestes qualificacions, els babilonis coneixien l'àrea d'un triangle rectangle (en el mesurament pràctic dividirien un triangle òbviament no recte en dos; en els exercicis escolars podrien usar el semiproducte dels dos "millors" costats). En un text babilònic tardà també trobem el càlcul d'una altura (mitjançant el teorema de Pitàgores, conegut ja en el període OB). De manera similar, trobarien correctament l'àrea d'un rectangle i d'un trapezi "recte". L'àrea d'un quadrilàter irregular es pot trobar mitjançant la "fórmula dels topògrafs", com la longitud mitjana multiplicada per l'ampla mitjana. En el mesurament pràctic, aquesta tècnica probablement només s'hagi utilitzat per a quadrangles bastant regulars, on dóna resultats acceptables. En els textos escolars, la tècnica també s'utilitza com a pretext per a formular problemes algebraics en els casos en què és extremadament poc realista. L'àrea del cercle normalment es va trobar com ¹ /12 vegades el quadrat de la circumferència (corresponent a π = 3) i la circumferència tres vegades el diàmetre. (No obstant això, s'ha suposat que una taula de constants conté un factor de correcció corresponent a π = 3¹ / 8 ).

Els volums prismàtics i cilíndrics es van calcular com a base per "altura" (és a dir, un costat aproximadament perpendicular a la base). El volum d'un con truncat es va trobar com el d'un cilindre amb el diàmetre mitjà (que és correcte per a un cilindre, i només tres quartes parts del valor veritable en el cas extrem on el con no està truncat), i el d'un piràmide truncada en un text com a altura multiplicada per la base mitjana (en un altre text potser correctament). En cas de dubte, una vegada més, els babilonis optarien per un compromís (bastant arbitrari) en lloc de rendir-se davant les dificultats teòriques.

Els volums prismàtics i cilíndrics probablement es van derivar d'una consideració -ingènua- de proporcionalitat. La unitat bàsica d'àrea era el SAR , i la unitat bàsica del volum 1 SAR PER 1 colze, també dita SAR (per a distingir, els historiadors moderns parlen d'un -volum sar-). Un prisma amb base A [ SAR ] i altura 1 [colze] tindria llavors un volum de [volum  SAR ]; si  fos h colzes, per tant h vegades més alt, el volum hauria de ser A ∙ h. Aparentment, es va utilitzar un argument de proporcionalitat corresponent quan es va trobar l'altura d'un pendent en casos similars. Unes certes consideracions terminològiques suggereixen que fins i tot l'àrea de figures rectangulars es va pensar originalment d'aquesta manera.

Un tipus de problema geomètric específicament babilònic és la partició d'àrees. Inicialment, això pot haver estat un problema pràctic. Tanmateix , a tot tardar  en el segle XXIII AC , sorgeix com un problema teòric: quina és la longitud de la transversal si un trapezi està bisecado per una transversal paral·lela? En el període OB són habituals problemes encara més complexos de tipus similar, així com altres problemes de divisió més o menys complexos i més o menys artificials.

Molts càlculs pràctics, per descomptat, no es referien a entitats geomètriques, sinó a quantitats de gra a cobrar com a quotes, a l'intercanvi comercial i a preocupacions pragmàtiques similars. Les tècniques utilitzades es poden il·lustrar parafrasejant un problema il·lustratiu: es donen dos camps, 1 i 2, d'un dels quals es cOBREN 4 GUR (1 GUR = 300 QA , 1 QA ≈ 1 litre) de gra per BUR ( = 1800 SAR ), mentre que l'altre llança una renda de 3 GUR per MADUIXA . Se dóna el rendiment total i la diferència entre les dues àrees. Primer tot es converteix en múltiples sexagesimals de les unitats fonamentals SARy QA , en part mitjançant càlcul, en part mitjançant una taula metrològica. Es troba el rendiment de la part del camp 1 que excedeix al camp 2. La resta del rendiment ha de provenir de l'àrea restant, A, que es compon de parts iguals del camp 1 i del camp 2. Es troba el rendiment d'un SAR mitjà ; això es divideix en el rendiment restant, donant l'àrea restant.

La idea darrere de l'últim pas sembla ser l'única " posició falsa" també coneguda d'altres textos babilònics: si l'àrea restant fos 1 QA , consistiria en ¹ / 2 SAR de cada camp, la qual cosa permetria trobar el rendiment. com (diguem) p QA . En realitat és (diguem) N ∙ p QA , i per tant l'àrea restant ha de  ser N SAR .

El procediment fa una impressió (confirmada per molts altres textos) d'improvisació ad hoc, construïda sobre el pensament concret, més que sobre tècniques estandarditzades quan anem més enllà dels mètodes més bàsics (conversions, etc. ). La mateixa característica també es troba en OB de segon grau i "àlgebra" superior, potser l'assoliment més sorprenent de la tradició matemàtica babilònica. El terme es posa entre cometes perquè no es basa en símbols com és l'àlgebra post-renaixentista o en paraules per a números desconeguts com són l'àlgebra medieval islàmica i italiana. En canvi, es basa en geometria -ingènua-: on l'àlgebra moderna ens presenta un problema x 2 + x = A (que pot transformar-se en x ∙ ( x+1) = A ), els babilonis considerarien un rectangle geomètric la longitud del qual se sap que excedeix l'ample en 1, i l'àrea del qual se sap que és A; on transformem l'equació per a aïllar x, els babilonis farien les corresponents transformacions de tallar i pegar del rectangle. La forma en què ho van fer seria intuïtivament òbvia i no proporcionarien cap prova euclidiana que el procediment fos correcte (d'aquí el terme -ingenu-).

Les transformacions bàsiques, per exemple, el tall de rectangles, es van realitzar d'acord amb esquemes fixos. Però els escribes OB també resoldrien problemes bastant complexos; i en transformar-los en problemes simples, utilitzarien una sèrie de trucs habituals, però no fórmules estàndard, precisament com feien en els problemes aritmètics. Quan s'usa amb intel·ligència (com ho és en molts textos), l'àlgebra OB és, per tant, molt flexible: sempre que ens cenyim a una o dues variables i al segon grau, un conjunt d'operacions gairebé tan flexible com (i en la seva seqüència d'operacions molt similars a) àlgebra simbòlica moderna. Només en casos més complexos es posen de manifest els desavantatges de les tècniques dels babilonis.

S'han de donar tres excepcions a l'enunciat que l'àlgebra OB és geomètrica. Primer, les entitats geomètriques involucrades no eren abstractes sinó àrees i segments de línia mesurables i concrets. En segon lloc, la base geomètrica no va impedir que la tècnica s'apliqués a quantitats no geomètriques. Representem, per exemple, un pes desconegut, un preu desconegut per un número pur x; el babilònic, no obstant això, els representaria mitjançant un segment de línia de longitud desconeguda (però numèricament coneguda). L'àlgebra geomètrica ingènua era una forma versàtil de trobar quantitats desconegudes involucrades en relacions complexes, veritablement, només relacions artificials. (La pràctica dels escribes babilònics no presentava problemes de segon o més alt grau; aquests havien de ser i van ser construïts per a permetre l'exhibició del virtuosisme dels escribes).

En tercer lloc, la declaració contradiu els propòsits de les creences establertes. La interpretació que Neugebauer va presentar en la dècada de 1930 com una "primera aproximació" va ser acceptada en #aqueix moment pel seu valor nominal, i des de llavors ha estat la saviesa convencional entre els historiadors de les matemàtiques que l'àlgebra babilònica era una àlgebra de números tractats retòricament com en l'àrab. i Edat mitjana Llatina. Només recentment una anàlisi filològica i comparativa detallat del corpus del text i la seva terminologia ha demostrat que la interpretació numèrica és, de fet, només una primera aproximació. (Les raons d'això i els detalls de la reinterpretació es presenten en Høyrup 1987).

Un últim tipus de problema important està compost per recerques numèriques. Alguns d'ells estan relacionats amb el càlcul de recíprocs i, per tant, amb les necessitats de càlcul comú. Uns altres s'inspiren en la partició del trapezi esmentat anteriorment i donen lloc a problemes indeterminats per a parells o conjunts de números. El més famós de tots aquests textos és la tauleta anomenada Plimpton 322, una taula fent ús de conjunts de números pitagòrics (és a dir, números a, b, i c el compliment de la condició d'un  2 + b 2 = c 2 ).

Qualsevol corpus matemàtic de coneixement està organitzat d'una manera que reflecteix els seus propòsits, les formes de pensament involucrades i l'estil cognitiu subjacent. També ho eren les matemàtiques babilòniques tal com les coneixem. Una característica general és el seu domini per mètodes, no per problemes. En el primer nivell, utilitari, això reflecteix que coneixem les matemàtiques babilòniques a partir de textos escolars que van servir per a entrenar als futurs escribes en els mètodes de la seva professió. Per a això va caldre construir problemes que permetessin el desplegament dels mètodes a aprendre. En la vida pràctica, d'altra banda, els problemes que calia resoldre eren, per descomptat, primaris i els mètodes aplicats a aquest efecte, secundaris.

No obstant això, si passem al nivell "pur", trobem la mateixa primacia de mètodes, mentre que les matemàtiques pures gregues (i modernes) prenen els problemes com a punt de partida i desenvolupen els conceptes i mètodes necessaris per a superar-los. En aquest cas, la formació dels practicants no explica res, ja que els mètodes particulars pertanyents a aquest nivell no tenien aplicació pràctica. Les matemàtiques "pures" babilòniques, no obstant això, tenien un propòsit diferent de l'objectiu científic de les matemàtiques gregues. Com es va explicar anteriorment, la seva raó de ser va ser el desplegament de virtuosisme professional, la qual cosa també explica per què va florir en l'era OB i ​​va desaparèixer de l'horitzó arqueològic amb la mort de l'escola d'escribes.

Els mètodes matemàtics es poden ensenyar de dues formes. Es poden presentar els mètodes en termes abstractes, com a teoria, perquè eventualment s'il·lustrin amb exemples, o es pot entrenar exclusivament a través d'exemples paradigmàtics. Avui dia, se suposa que la primera forma s'utilitza en els nivells educatius superiors; i aquest últim està reservat per a les primeres etapes de l'escola. L'enfocament va ser diferent en les matemàtiques babilòniques, on no coneixem cap cas de teoria formulada i només dues o tres en els quals s'utilitza un exemple paradigmàtic com a base per a una discussió més general del mètode involucrat (encara que precisament aquests textos suggereixen que l'ensenyament oral ho faria més sovint). Els únics casos en els quals les regles es formulen en abstracte es troben en un parell de textos d'Uruk, governat pels grecs (Friberg fc. En RLA ).

Aquesta característica de les matemàtiques babilòniques es pot comparar amb la composició dels textos legals babilònics com el Codi d'Hammurabi. La "Llei d'Hammurabi" no és un llibre de lleis a semblança del Dret Romà. És una col·lecció de decisions legals preses pel rei, però per descomptat només juntes perquè se suposava que les decisions reals servirien com a paradigmes per als jutges del regne. També podem fer una comparació amb la llista de centenars de casos separats en els textos d'auguris babilònics.

Es podria dir que el pensament babilònic era més concret i menys inclinat a l'abstracció que el de la ment moderna. Aquests termes, no obstant això, són utilitzats de manera diferent per un antropòleg cognitiu com Lévi-Strauss (1972) en la seva distinció entre la ment "salvatge" i la ment moderna. En altres dominis, el pensament babilònic pot ser concret en un sentit levi-straussià, amb entitats concretes que actuen com a classificadors i impartint així algunes de les seves propietats a la classe que encarnen (com una societat primitiva pot suposar que els membres d'un "clan de fletxes" sigui ​​més ràpid que els altres). Però ja en la sistematització de la literatura sobre auguris hi ha una abstracció implícita subjacent visible malgrat el seu origen en el pensament màgic (Larsen 1987), i la matemàtica OB està encara més allunyada de la concreció levi-straussiana.

Això és potser menys cert per als sacerdots escrius post-kasitas, que les seves tablillas podrien enumerar juntes conversions metrològiques i els números sagrats dels déus (Friberg, comunicació personal sobre una tablilla inèdita). Des dels primers temps, de fet, l'astúcia tècnica dels escribes havia estat envoltada d'una aura sagrada. En el segle 22 a. C.  El rei Gudea de Lagash va afirmar que havia dissenyat el pla del temple a semblança de la deessa escrigui Nisaba, "que coneix l'essència de comptar". Des de mitjan tercer mil·lenni, els "números sagrats" també es van associar amb els déus, i els números es van usar per escrit d'acord amb el principi d'endevinalla. A principis del primer mil·lenni (abans del desenvolupament de l'astronomia matemàtica), els números s'usaven criptogràficament en alguns textos de presagis astrològics. En alguns altres textos, els números es van utilitzar per a "codificar" d'una manera que pot explicar com el rei assiri Sargón va afirmar que el "número del seu nom" era 16.283. Tots aquests fenòmens difícilment poden considerar-se ingredients de les matemàtiques babilòniques, però reflecteixen l'existència i la importància de les activitats matemàtiques i ho fan amb més força en períodes en els quals les matemàtiques no eren un esforç autònom (estan significativament absents de les fonts de matemàtiques de l'escola d'escribes OB). Com els fenòmens marginals en general, deuen la seva existència al nucli.

Neugebauer (1935) ha publicat les principals col·leccions de fonts per a OB i ​​matemàtiques selèucides. Thureau-Dangin (1938), Neugebauer i Sachs (1945) i Bruins i Rutten (1961). Les millors ressenyes dels continguts de les matemàtiques babilòniques són les de Vogel (1959, en alemany) i, especialment, Vajman (1961, en rus, però s'està realitzant una traducció a l'alemany). Una introducció més popular és la de van der Waerden (1962: 37-45, 62-81). Friberg (1981) ha ofert una visió general de les diverses interpretacions de les triples pitagòriques de Plimpton 322. El primer estudi de les matemàtiques del tercer mil·lenni va ser publicat per Powell en 1976; Damerow i Englund (1987) presenten descobriments recents d'importància; Englund (1988); Friberg i Hunger fc.). Friberg (fc. EnRLA ), qui també ha escrit una excel·lent bibliografia selectiva (en Dauben 1985: 37-51).

C. Descendents sirians

Els israelites s'haurien trobat amb les matemàtiques babilòniques durant l'exili, però només en la fase tardana, quan es van barrejar amb la religió i l'endevinació babilòniques. Molt abans d'això, degueren haver estat confrontats amb els seus descendents "a casa", a la fi de l'II i principis de l'I mil·lenni a Síria.

Després de mitjan segon mil·lenni, les ciutats-estat cananees de Síria van ser dominades políticament per Egipte. No obstant això, de manera característica, les batusses cananees i el faraó es corresponien en acadio; Ugarit, l'estat cananeu més prominent, va desenvolupar la seva escriptura alfabètica sobre la base de l'escriptura cuneïforme; i els escribes ugaríticos, igual que els seus col·legues hitites i assiris, eren ensenyats d'acord amb la tradició sumeri-babilònica (vegeu Krecher 1969). No obstant això, els únics rastres de matemàtiques en el seu pla d'estudis consisteixen en llistes metrològiques. Podem deduir raonablement que només es va adoptar l'estrat utilitari de les matemàtiques babilòniques, mentre que la superestructura teòrica depenia massa de la situació sociocultural particular de l'OB per a ser interessant en els llocs d'avançada culturals cananeus. El mateix haurà estat amb tota probabilitat el cas dels primers anys d'Israel,

El punt de contacte més pròxim no haurà estat l'escriba, sinó la tradició mal documentada dels mestres constructors o arquitectes. Se'ns diu en 1 Reis 5-7 i 2 Cròniques 2-3 que Salomón va cridar a mestres fenicis per a la construcció del temple, i sembla de fet que també van seguir els models cananeus ( CA 2/2: 149). No tenim un testimoniatge directe de la tradició geomètrica d'aquests mestres, però un text islàmic de mesurament del segle IX d'un tal Abū Bakr mostra un sorprenent grau de continuïtat amb l'àlgebra OB, no sols en substància i mètodes matemàtics, sinó també en la retòrica i estructura gramatical. Una història contada pel matemàtic de finals del segle X Abū’l-Wafā˒ suggereix que els portadors de la tradició contínua eren "artesans" (ṣunna˓ ), és a dir, mestres constructors i similars (veure Høyrup 1986). Fins i tot hi ha raons per a creure que el punt de partida de la tradició algebraica OB va ser una tradició d'artesans preexistent, encara que l'evidència no és convincent i els artesans poden, en canvi, haver-se inspirat en un esquema originalment d'escribes.

Independentment de la seva relació original amb la tradició dels escribes OB, la mateixa tradició dels artesans sembla haver-hi permeado tot el Mitjà Orient; una reflexió bíblica és ben coneguda: s'afirma (1 Reis 7: 23-24; 2 Cròniques 4: 2) que la -mar de fosa- establert per Salomó en el temple posseeix un diàmetre de 10 colzes i una circumferència de 30 colzes , corresponent al babilònic " π " esmentat anteriorment de 3.

D. Matemàtiques egípcies

L'altra gran tradició matemàtica de l'Edat del Bronze els ressons del qual es poden rastrejar en la Bíblia i, més clarament, en les restes arqueològiques del regne dividit, és la d'Egipte. Encara que la tradició egípcia és en molts aspectes paral·lela a la tradició babilònica, les dues eren òbviament independents.

Com la seva contrapart, les matemàtiques egípcies són un esforç d'escribes que també hauria d'etiquetar-se com a "computació". Va sorgir en relació amb les necessitats administratives en l'estat primerenc; Gènesi 41 proporciona una perspectiva israelita sobre #aqueix particularitat de la vida social egípcia (en comparació amb la de l'Israel pre-salomònic) que requeria un càlcul extens. L'economia egípcia era, com la dels primers estats sumeris, un sistema redistributiu (les descripcions bíbliques de la construcció del temple de Salomó també contenen característiques redistributives). En conseqüència, el càlcul de les racions i de la provisió per als treballadors és un tema central en els textos matemàtics egipcis, igual que el càlcul d'àrees i dels volums dels graners.

No és possible distingir un nivell teòric particular en les matemàtiques egípcies. En #aqueix sentit, les dues tradicions difereixen. Tanmateix, això no vol dir que les matemàtiques egípcies fossin una col·lecció de fórmules, ni (com veurem més endavant) que tot es va fer sempre de la manera que millor s'adaptava a les aplicacions pràctiques. A més, existeix evidència textual que els propis escribes veien la seva astúcia matemàtica com un punt alt de coneixement, com a -regles per a indagar en la naturalesa i per a conèixer tot el que existeix, [cada] misteri,. . . cada secret –com Peet (1923: 33) tradueix el passatge introductori del Papir Matemàtic Rhind (RMP en el següent).

Hi ha menys fonts per a la història de les matemàtiques egípcies que en el cas babilònic, i la seva distribució cronològica no és menys desigual. Per tant, només és possible donar una visió general molt general del desenvolupament històric. L'aplicació de mesures i el desenvolupament del sistema metrològic van començar a tot tardar en el quart mil·lenni sortint. Les mesures de capacitat i d'àrees ocorren en textos de la 3a a la 4a Dyn. ( ca. segle 27 a. C.  ). Ja a principis de la I Dyn. (finals de l'IV mil·lenni a. C.  ) el sistema de mesures lineals es va utilitzar en el cànon que governa la representació pictòrica dels éssers humans (Iversen 1975: 60-66), i des d'una data primerenca també ha d'haver estat utilitzat en el disseny arquitectònic.

No es disposa d'evidència directa de les tècniques de càlcul del tercer mil·lenni. No obstant això, a partir de la forma en què s'expressen els mesuraments i els resultats, es pot deduir que l'últim sistema de fracció unitària (veure més a baix) encara no existia com un sistema coherent, sinó només com una manera d'expressar expansions ad hoc dels sistemes de subdivisions metrològiques. També sabem que als escribes se'ls va ensenyar a calcular com a aprenents, en la pràctica immediata i no en una escola (vegeu Brunner 1957: 11-15).

Tot això anava a canviar en el Regne Mitjà, a principis del 2n mil·lenni. L'educació dels escribes a partir d'ara va tenir lloc en una escola, i es coneixen molts textos que reflecteixen la forma en què es va inculcar l'autoestima professional en els futurs escribes. La introducció al RMP citada anteriorment mostra que fins i tot les matemàtiques van servir per a aquest propòsit, igual que a l'escola d'obstetrícia.

En aquest moment sembla haver tingut lloc una reorganització del repertori de fraccions en un sistema coherent. Es van conservar les antigues subdivisions metrològiques, però ara es van complementar amb una notació sistemàtica per a fraccions numèriques abstractes. Els elements bàsics del sistema eren les fraccions unitàries ¹ / 2 , ¹ / 3 , ¹ / 4 ,. . . , ¹ / n , juntament amb el complement 2 / 3 . Qualsevol fracció havia d'expressar-se com una suma d'aquestes fraccions unitàries (cap d'elles idèntica) en ordre decreixent. L'escriba egipci seria per tant considerar 2 / 5 , no com un número, però com un problema, la solució dels quals era ¹ / 3 + ¹ / 15. Per a usos pràctics, aquestes expressions eren menys útils que les subdivisions metrològiques. No obstant això, per a fins didàctics, eren més adequats que les subdivisions perquè tot podia expressar-se amb precisió; també podem suposar que van exercir un paper similar al d'OB àlgebra superior, perquè la manipulació de fraccions unitàries requeria el mateix tipus de virtuosisme matemàtic.

Una vegada que es va introduir el sistema de fracció unitària en el pla d'estudis de l'escola, els escribes van començar a utilitzar-lo en la vida pràctica. A vegades, el contrast resultant entre errors grollers i inadvertits i la precisió meticulosa de la notació pot semblar-nos estrany; no obstant això, és comprensible si veiem l'ús del sistema com una espècie d'art  pour l’art, com una expressió d'identitat professional i no com un dispositiu merament utilitari.

Les nostres principals fonts per al contingut general i les tècniques de les matemàtiques egípcies són dos grans papirs copiats d'originals del Regne Mitjà, el Papir Matemàtic de Rhind (RMP) i el Papir Matemàtic de Moscou (MMP). El primer és un manual bastant sistemàtic que conté una gran quantitat de càlculs intermedis, mentre que el segon és bastant desordenat i aparentment és un llibre de treball per a estudiants. El RMP és especialment excel·lent com a estudi de les matemàtiques egípcies del Regne Mitjà. El MMP i altres fonts proporcionen molt poc més enllà de la confirmació i aclariment de qüestions dubtoses que es troben en el RMP.

Gairebé un terç del RMP es dedica al càlcul de 2 / n ( n = 3, 5,…, 101) com una suma de fraccions unitàries. Aquesta taula és un prerequisit per a tots els càlculs posteriors a causa de la forma distintiva en què els egipcis realitzaven la multiplicació i la divisió: multiplicant un número Per 29, l'escriba trobaria per duplicacions successives 2 A, 4 A, 8 A i després 10 A , i, per un altre duplicació, 20 A, i finalment afegir A, 8 A, i 20 Apara trobar el resultat. És a dir, tot el procediment es va basar en successives duplicacions i desacoblaments. Si A conté fraccions amb un denominador imparell, les duplicacions implicarien l'ús de la taula 2 / n ; Per tant, si A = ¹ / 5 , 2 A = ¹ / 3 + ¹ / 15 , 4 A = 2 / 3 + ¹ / 10 + ¹ / 30 ,. . . Dividint (com en RMP, problema 33) el número 37 per B = 1 + 2 / 3 + ¹ / 2 + ¹ / 7, l'escriba calcularia successivament 2 B, 4 B, 8 B i 16 B, veient que 16 B plena 37 a part d'una resta que és dues vegades una subunitat implícita ¹ / 42 ; des de B és de 97 vegades aquest mateix subunitat, la resta és el doble ¹ / 97 B , i el resultat complet de la divisió és 16 + 2 / 97 , és a dir, en el sistema requerit, 16 + ¹ / 56 + ¹ / 679 + ¹ / 776 .

Les multiplicacions i divisions simples podrien fer l'efecte que les matemàtiques egípcies eren purament additives. No obstant això, com es mostra en l'última part de la divisió, així com en moltes solucions que fan ús de "posicions falses" (cf. a dalt) i de la manipulació lliure de les subunitats apropiades, els escribes egipcis tenien una comprensió perfecta, encara que implícita, de relacions multiplicadores i proporcionalitat. En cas contrari, de fet, no haurien pogut ocupar-se de les seves tasques pràctiques.

Una part substancial del pla de gestió de refrigerants se centra en els problemes que sorgeixen mitjançant l'ús del sistema de fracció unitària, especialment en relació amb els problemes de divisió i proporcionalitat. Alguns d'aquests problemes tenen a veure amb números abstractes, uns altres aclareixen la connexió amb la pràctica diària, per exemple, quan es distribueixen pans a treballadors i capatassos (amb racions dobles per a aquests últims), quan es tracta la connexió entre fraccions unitàries i diversos sistemes metrològics, o quan es tracta de la qualitat de la cervesa i la grandària dels pans.

Un altre interès dominant és el càlcul geomètric. Com a Mesopotàmia, les mesures d'àrea estan connectades matemàticament a mesures lineals, però es conceptualitzen encara més clarament com el producte d'un ample estàndard fix i una longitud variable. Com en Babilònia, el concepte d'angle quantificable està absent; i les àrees triangulars es van trobar com el producte de dos costats que contenen un angle "pràcticament recte". Els trapezis i trapezoides estan absents de les fonts; però l'àrea d'un cercle es troba com el quadrat de D – ¹ / 9 D ( D és el diàmetre), corresponent a pi = 256 / 81 = 3,16. . . – Molt millor que el govern babilònic normal.

Els volums prismàtics i cilíndrics es van trobar, per descomptat, sense dificultat; és més sorprenent que el volum d'una piràmide truncada s'hagi trobat correctament (MMP, problema 14). Es discuteix si una -canastra- en MMP (problema 10) està destinada a ser un hemisferi. Si és així, la seva superfície es troba amb precisió (donat l'esmentat " π "  anteriorment ; però si no es fa referència a un hemisferi, el càlcul suggereix que els egipcis trobarien la circumferència circular (correctament) com l'àrea quàdruple del cercle dividida pel diàmetre i l'àrea d'un semicilindre com el producte del costat corb i recte.

La geometria i els càlculs geomètrics també es van utilitzar en l'arquitectura egípcia. Els problemes d'arquitectura i edificació, no obstant això, no són molt notoris en els textos matemàtics, que de fet contenen només dos tipus: primer, el càlcul del pendent de les piràmides, segons el RMP, on es tracta cinc vegades; i segon, el volum d'una piràmide truncada, que només es coneix de MMP.

És una afirmació recurrent que els egipcis coneixien el teorema de Pitàgores i l'usaven en la construcció arquitectònica. No obstant això, ha d'observar-se que l'afirmació no està recolzada per cap prova positiva. Molts edificis, és cert, contenen rectangles els costats dels quals estan entre si com 3 a 4, però res suggereix que els egipcis sabessin o estiguessin interessats ​​en la longitud de la diagonal.

Relacionat amb l'ús de la geometria en arquitectura està l'ús en les arts pictòriques de quadrícules quadrades i proporcions fixes vinculades al sistema de mesures lineals. Aquest -sistema canònic- és un dels principals factors que creguin el tenor únic de l'art egipci i que el va estabilitzar durant diversos mil·lennis, fins que una reforma metrològica en el segle VII a. C.  EL Va convertir en un factor de canvi.

Qualsevol cosa similar a l'àlgebra de segon grau babilònica estava absent en les matemàtiques egípcies. El més a prop que arribem són dos tipus de problemes geomètrics. Un es troba repetidament en el MMP: en un triangle (pràcticament) rectangle es donen l'àrea i la raó entre els costats que contenen l'angle recte; això es resol mitjançant una consideració de proporcionalitat. L'altre prové del Papir de Berlín 6619 i es pot traduir en símbols moderns com a x 2 + i 2 = 100, i = 3 / 4 ∙ x ; la solució s'obté mitjançant una posició falsa (-prendre sempre un quadrat del costat 1; després l'altre és ¹ / 2 + ¹ / 4 -).

Aquests problemes són atípics per ser de segon grau. De fet, tota la resta relacionat amb l'àlgebra és de primer grau. Però les tècniques emprades són també típiques de #aqueix problemes de primer grau que estaríem temptats a resoldre algebraicament. La "posició falsa", en particular, pot considerar-se com una " x del pobre" . -El punt d'usar una x és, de fet, que es pot manipular la quantitat desconeguda com si fos un número conegut; prendre preliminarment la incògnita com 1 (o qualsevol altre número convenient) li dóna la mateixa possibilitat, sempre que se cenyeixi a -problemes homogenis- (és a dir, problemes que poden reduir-se al tipus x 11 = A ).

La descripció anterior no esgota el contingut de les matemàtiques egípcies, però cobreix les principals característiques fins on les coneixem i ho fa fins a la dominació assíria. Llavors (modesta) canvis en la posada en: una sèrie de papirs matemàtica demòtica de l'hel·lenística i romana mostren, en efecte, que el material de la tradició dels practicants de Babilònia o d'Orient Mitjà s'havia difós a Egipte durant el 1r mil·lenni ABANS DE CRIST (tal vegada portat per l'exèrcit persa o inspectors fiscals?). El més cridaner és l'adopció del babilònic π  .

Els textos matemàtics egipcis són col·leccions de problemes, igual que els babilònics. El més a prop que arribem a una descripció general dels mètodes és una frase com "sempre pren un quadrat del costat 1" citada anteriorment. Però fins i tot a Egipte se suposava que els problemes eren paradigmàtics; com s'indica en la introducció del pla de gestió de refrigerants, se'ls considerava "regles". En els textos, per tant, els mètodes són primaris i els problemes secundaris. En la pràctica professional dels escribes, per descomptat, els problemes pràctics eren primordials; i atès que no es va desenvolupar un nivell clarament distingible de càlcul no utilitari desenvolupat a Egipte, els problemes trobats en els textos són problemes de la vida real o estructuralment similars als problemes trobats en la "vida real", inclosos els problemes que sorgeixen dels algorismes idiosincràtics de multiplicació i divisió i la unitat -sistema de fracció. Considerat mundialment,

Com en Babilònia, el mode de pensament expressat en els textos matemàtics és concret. No obstant això, existeix una diferència important. Les matemàtiques babilòniques, com hem vist, tendien a representar altres entitats desconegudes mitjançant entitats geomètriques mesurables; els egipcis, d'altra banda, tendien a representar tot per números purs (almenys des del Regne Mitjà d'ara endavant). Encara que la matemàtica babilònica és molt més sofisticada en contingut que la seva contrapart egípcia, es pot afirmar que aquesta última ha anat més lluny en l'abstracció matemàtica.

Les matemàtiques de l'antiga Babilònia, com vam veure, semblen ser purament seculars. En èpoques posteriors, la frontera entre les matemàtiques, l'endevinació i la religió semblava haver-se tornat una mica borrosa. A Egipte, també, la numeració i els números van jugar un paper religiós-místic, com en el Llibre dels Morts, on el rei mort ha de comptar els seus dits (Neugebauer 1969: 9). Però malgrat els "misteris" i "secrets" esmentats en la introducció al RMP, els textos matemàtics en si semblen mancar de connotacions religioses i ocultes.

Això, per descomptat, està en desacord amb les especulacions generalitzades sobre el "misticisme piramidal". Els arguments piramidológicos es basen (en el millor dels casos) en una varietat de proporcions numèriques suposadament trobades en la piràmide de Kheops i que afirmen reflectir un coneixement precís d'i π  la "secció àuria". No obstant això, dos defectes caracteritzen aquestes afirmacions (veure Robins i Shute 1985). Primer, el mesurament precís de les dimensions (originals!) De la piràmide desgastada és difícil; i per a obtenir les seves proporcions favorites, els piramidólogos eviten utilitzar les millors mesures. En segon lloc, res en els textos matemàtics suggereix el més mínim interès en els números que s'afirma que estan incorporats en les piràmides; així, per exemple, els egipcis no van usar un número corresponent a π sinó una aproximació (és a dir,8 / 9 ) per a å ( π / 4), que és bastant una altra entitat encara que per descomptat igual que matemàticament útil. D'altra banda, les millors mesures dels pendents piramidals corresponen precisament a la forma en què s'indiquen els pendents piramidals en el RMP i surten principalment com 5 palmes, 1 dit; o 5 palmes, 2 dits horitzontalment per colze vertical (el valor anterior és el valor favorit en el RMP).

Tant RMP com MMP existeixen en excel·lents edicions. RMP va ser editat per Peet en 1923 amb una transcripció jeroglífica (l'original és hieràtic) i traducció i comentari a l'anglès i novament en 1927-29 per Chace et al. amb traducció lliure i comentari (vol. 1), i reproducció, transcripció jeroglífica, transliteració i traducció literal (vol. 2). MMP va ser editat per Struve en 1930 amb reproducció, transcripció jeroglífica, traducció a l'alemany i comentaris. Robins i Shute van publicar en 1987 una nova edició de RMP destinada a no especialistes interessats. Parker va publicar una col·lecció de papirs matemàtics demòtics (amb transliteració i traducció a l'anglès, i una discussió sobre la continuïtat i el canvi terminològics i tècnics des de les matemàtiques del Regne Mitjà) en 1972.

Vogel (1958, en alemany) i Gillings (1972) han escrit excel·lents estudis de les matemàtiques egípcies. Aquest últim treball és inspirador, però ha d'usar-se amb una certa cautela, ja que l'autor sovint mostra com podrien haver estat les fonts imaginàries i el fa amb la lletra hieràtica més exquisida i convincent. Totes dues enquestes inclouen referències a altres treballs i a publicacions de fonts menors. Una àmplia bibliografia de treballs sobre matemàtiques egípcies fins a 1929 compilada per Archibald s'inclou en Chace et al. 1927-29. Es trobarà una bibliografia selectiva recent en Dauben (1985: 29-37).

Gardiner (1911) va publicar una carta satírica de ficció molt utilitzada a l'escola i que reflecteix la importància del càlcul matemàtic en les ocupacions d'escribes.

El "sistema canònic" de les arts pictòriques va ser descrit per Iversen (1975). L'exposició de Badawy sobre el disseny arquitectònic egipci (1965) ha d'utilitzar-se amb cautela.

La gamma completa de matemàtiques egípcies probablement mai es va difondre a l'àrea palestina. No obstant això, l'evidència epigràfica mostra que des del moment en què els regnes israelites van començar a acostar-se a una economia redistributiva i els escribes reals van necessitar eines computacionals, els escribes es van fer càrrec dels números hieràtics egipcis (estudi de l'evidència principal en Ifrah 1986: 271). Aquests, no obstant això, són més complexos que els números jeroglífics que representen en forma taquigràfica; i difícilment es pot imaginar que van ser adoptats de forma aïllada: han d'haver estat importats juntament amb almenys part de #aqueix cultura matemàtica més àmplia a la qual servien. Amb tota probabilitat, l'administració en el regne dividit s'haurà efectuat així per mitjà de rutines i tècniques egípcies.

E. Matemàtiques gregues i hel·lenístiques i les seves conseqüències

La tercera tradició matemàtica d'una certa importància en el context bíblic va ser la de l'antiga Grècia i del món hel·lenístic.

La Grècia clàssica primerenca va ser el bressol de la "filosofia", és a dir, de l'interès intel·lectual i científic radicalment separat de la utilitat social directa. Mentre que l'estrat no utilitari de les matemàtiques babilòniques (i, en la mesura en què existien, egípcies) havia de semblar una eina per a la pràctica dels escribes amb la finalitat de servir al manteniment soci-psicològic de la identitat dels escribes, les matemàtiques gregues havien de semblar "pures", és a dir. , lliure de la utilitat social. El treball d'escribes, de fet, s'havia convertit en una ocupació humil en l'antiguitat clàssica i havia deixat de ser intel·lectualment productiu.

El punt de partida va ser aparentment la curiositat intel·lectual enfront de les tècniques de topògrafs i comptables: per què van funcionar aquestes tècniques? Al final del camí trobem els Elements d'Euclides ; Els càlculs d'Arquimedes de cercle, esfera i paraboloide; i les còniques d'Apolonio ; juntament amb una sèrie d'obres astronòmiques menors disfressades de pura geometria esfèrica; i el monumental Almagest de Ptolemeu. Tot això va ser bastant irrellevant per a la cultura jueva i cristiana fins a l'Alta Edat mitjana, i no hi ha raó per a discutir-ho més aquí.

Més importants que la història matemàtica en el seu conjunt en aquest període són diverses tradicions subjacents.

Primer està el sistema numèric alfabètic. Veure NÚMEROS I COMPTAR. S'ha discutit molt qui va utilitzar per primera vegada les lletres de l'alfabet per als números, i la qüestió no està definitivament resolta. Els grecs ho van fer almenys des de finals del segle III a. C.  D'ara endavant , però també el van fer els jueus i altres pobles semíticos. No obstant això, no hi ha evidència per a l'ús semita es pot datar abans del segle 1 AD ; i fins llavors semblava estar en ús altre sistema. Per aquesta raó (i diverses altres raons) és la suposició més raonable que el sistema numèric alfabètic va ser inventat pels grecs i després assumit per uns altres en el món hel·lenístic (veure la discussió en Ifrah 1986: 286-302).

Originalment, això era només una notació intel·ligent per a números, però aviat, no obstant això, la possibilitat de llegir qualsevol lletra alfabètica com un número es va explotar en gematria, la substitució de la suma dels números constituents per una paraula. Un exemple primerenc i més famós es troba en Apocalipsi 13.18, el número de la bèstia és -el número d'un home; i el número és 666 ". (Això recorda l'afirmació del rei assiri Sargón sobre el "número del seu nom", però la semblança és probablement accidental).

De major importància va ser la tècnica en l'exegesi medieval i renaixentista, és a dir, en la Cabalá, on es va usar àmpliament per a la identificació simbòlica de paraules amb el mateix número gematrico (veure la descripció de la Cabalá jueva i cristiana en Blau 1944).

Després està la tradició pitagòrica. La germanor pitagòrica s'havia format a la fi del segle VAIG VEURE a. C.  al voltant de Pitàgores, qui era ( ritmouna abundància d'autors neopitagóricos i moderns) amb tota probabilitat no és un -científic- o -matemàtic- sinó més aviat una figura xamànica, com ha sostingut Burkert (1972). No obstant això, és plausible que la numerología (en un nivell "popular" tradicional) fos un ingredient important en la seva doctrina. Durant el segle V, llavors, i simultàniament amb el desenvolupament de les matemàtiques científiques, la germanor pitagòrica (o una branca d'ella) sembla haver estès l'interès numerológico, primer adoptant un interès teòric de números existent (la -doctrina dels nombres imparells i fins i tot -) i ampliant-ho i després reprenent la geometria teòrica. (Una discussió satisfactòria de la cronologia relativa dels assoliments matemàtics "filosòfics" i "pitagòrics" portaria massa lluny; però veure Knorr [1975: passim]; Høyrup [1985: 19-21].)

En el segle IV AC , el moviment pitagòric desapareix com a escola científica, encara que al llarg de l'antiguitat la doctrina aritmètica bàsica pitagòrica va continuar sent important. De fet, és una doctrina més que una teoria. Els constituents fonamentals són el cànon dels números figurats i la classificació de proporcions numèriques. La doctrina es va presentar a través d'exemples i sense proves. Els descobriments fets per autors neopitagóricos de l'antiguitat tardana (si és que els van fer) es van fer empíricament.

Els números figurats són els números que sorgeixen quan els punts s'organitzen en uns certs patrons regulars. Encara coneixem els números quadrats, 1 ∙ 1, 2 ∙ 2, 3 ∙ 3, etc., i els nombres primers, que només es poden organitzar en una sola fila i en cap altre patró rectangular. Una tercera espècie són els números triangulars, 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, etc., i encara existeixen altres ( números rectangulars de la forma n ∙ ( n + 1); pentagonal números, 1 + 2 +… + ( n -1) + n 2 , etc.). Vegi la Fig. MAT.01 .

La doctrina de les proporcions es va acoblar a la teoria de l'harmonia musical. Una octava correspon a una proporció de 2: 1 (en freqüència, que els antics no coneixien, i en longituds de corda en un monocordio, que sí que coneixien); una cinquena correspon a la proporció 3: 2, una quarta a 4: 3, etc. Totes aquestes són proporcions superparticulares, és a dir, tenen la forma ( n + 1): n . Altres classes es defineixen de manera similar.

L'aritmètica neopitagórica es va considerar indispensable per a la comprensió de la filosofia (especialment platònica) i, per tant, va ser un prolegòmen en el currículum filosòfic bàsic tardà antic. D'aquesta manera es va estendre a cercles molt més amplis que les matemàtiques d'alt nivell. Un lloc en la cultura general que va ser influenciat per la doctrina pitagòrica va ser la poesia. Diversos textos (per exemple, Bucolica i Georgica de Virgili ) es construeixen al voltant de proporcions simples (identitat i superparticulares) i nombres primers. Aquestes relacions matemàtiques apareixen en el recompte de línies, paraules i lletres, especialment les vocals.

Curiosament, aquesta mateixa tècnica sembla haver estat utilitzada en l'evangeli de Lucas. Com és ben sabut, el Sermó de la Muntanya i el Parenostre són interpretats de manera diferent per Mateo i Lucas. Segons el lingüista Jens Juhl Jensen (1986), qui ha comparat el text de l'evangeli amb els principis utilitzats en la poesia -pitagòrica- de la mateixa època, la versió de Lucas (però no la de Mateo) segueix els principis pitagòrics. És d'algun interès exegètic que parteix de la diferència entre els dos evangelistes pugui ser la diferència necessària entre la traducció a la prosa i la poesia regida per regles estrictes.

Les doctrines neopitagóricas també van ser importants en l'exegesi antiga i medieval, en particular els números figurats. Un personatge important referent a això és Filó d'Alexandria, i un bon exemple és la seva anàlisi de les mesures de l'Arca de Noè (editat per Paramelle [1984: 148-63] amb un comentari numerológico de Sesiano [205-9]). La longitud de 300 [colzes] representa l'univers, perquè és el número 24 triangular, 24 és el nombre d'hores en un dia i el nombre de lletres en l'alfabet grec, 24 = 2 3 + 2 3 + 2 3 , i la tríada 1 + 1 + 1 ocorre així doblement en 24 i representa la igualtat (identitat de principi, mitjà i final). A més, 300 = (1 + 3 +… + 23) + (2 + 4 +… + 24) = 144 + 156, sent 144 12 2y així incloure (com a patrons de punts) els primers 12 quadrats, mentre que 156 = 12 ∙ 13 -inclou- (en el mateix sentit) els primers 12 números rectangulars. Llavors, 300 uneix en si mateix igualtat i desigualtat, per la qual cosa és similar i representa l'univers. Es fan observacions astutes similars sobre l'ample i l'altura de l'Arca.

Ambrosio i Agustín es van fer càrrec de la numerología de Filó (qui, com a mestre, havia ensenyat aritmètica neopitagórica en la seva pròpia joventut). Però els autors cristians fins a principis del Renaixement també farien la seva pròpia exegesi numerológica. Un exemple tardà i bell és la -prova- matemàtica de Nicolás de Cusa que la trinitat no podria haver estat cuaternidad ( De docta ignorantia 1.20, ed. Wilpert 1967, 1: 59-60): les entitats màxima i mínima coincideixen (un principi fonamental en Cusanus ‘ filosofia); en la topografia, la reducció necessària a entitats mínimes condueix a la triangulació; ergo. . .

Les matemàtiques científiques gregues només van afectar l'exegesi medieval en un punt. Com es va esmentar anteriorment, el " π babilònic " s'accepta en la Bíblia. Això es va convertir en un problema per als autors jueus medievals, els qui van idear l'explicació que el fil que mesura la circumferència de la mar fosa corria al voltant de la superfície interior (així s'explica en La mevašnat ha-Middot 5, 3). Aquesta mateixa idea va ser proposada no fa molt pel piramidólogo Berriman (1953: 97).

Resumint la influència de les matemàtiques gregues i hel·lenístiques, podem concloure que va afectar el text bíblic en si només en alguns aspectes sense importància. No obstant això, a mesura que el judaisme i (més tard) el cristianisme es van integrar en la cultura hel·lenística general, el neopitagorismo i la topografia elemental d'Arquimedes s'havien convertit en una part indiscutible (i no controvertida) del bagatge intel·lectual dels Pares de l'Església i altres comentaristes, i no veurien cap problema. a usar-ho com a eina per als seus esforços exegètics. Aquesta visió matemàtica també va ser heretada i promulgada pels seus deixebles en l'Edat mitjana i principis del Renaixement.

Bibliografia

Badawy, A. 1965. Disseny arquitectònic egipci antic: un estudi del sistema harmònic. UCPNES 4. Berkeley.

Berriman, AE 1953. Metrologia històrica. Londres.

Blau, JL 1944. La interpretació cristiana de la Càbala en el Renaixement. Doctor. dis. , Universitat de Colòmbia.

Bruins, EM i Rutten, M. 1961. Textes mathématiques de Suse. Mémoires de la Mission Archéologique en Iran 34. París.

Brunner, H. 1957. Altägyptische Erziehung. Wiesbaden.

Burkert, W. 1972. Lore i ciència en el pitagorisme antic. Cambridge, DT..

Chace, AB i col. 1927-29. El papir matemàtic de Rhind. Museu Britànic 10057 i 10058. 2 Vols. Oberlin, OH.

Damerow, P. i Englund, RK 1987. Die Zahlzeichenssysteme der Archaischen Texte aus Uruk . Vol. 2, págs. 117-66 en Zeichenliste der Archaischen Texte aus Uruk, ed. MW Green i HJ Nissen. ATU 2. Berlín.

Dauben, JW 1985. La història de les matemàtiques des de l'antiguitat fins al present. Una bibliografia selectiva. Bibliografies d'Història de la Ciència i la Tecnologia 6. Nova York.

Englund, RK 1988. Cronometratge administratiu en l'antiga Mesopotàmia. JESÓ 31: 121-85.

Friberg, J. 1981. Mètodes i tradicions de les matemàtiques babilòniques: Plimpton 322, triples pitagòrics i equacions de paràmetres del triangle babilònic. Història Mathematica 8: 277-318.

—. 1984. Números i mesures en els primers registres escrits. Scientific American (edició europea) 250/2 (febrer de 1984): 78-85.

—. 1986. Les primeres arrels de les matemàtiques babilòniques. III: Tres textos notables de l'antiga Ebla. Vicino Orient 6: 3-25.

Friberg, J. i Hunger H. fc. Llavor i canyes: un text de tema metre-matemàtic de LB Uruk.

Gardiner, A 1911. Textos hieràtics egipcis. Sèrie I: Textos literaris del Nou Regne. Part I: El Papir Anastasi I i el Papir Koller, juntament amb Textos Paral·lels. Leipzig.

Gillings. RJ 1972. Matemàtiques en l'època dels faraons. Cambridge, DT..

Høyrup, J. 1980. Influències de l'ensenyament de les matemàtiques institucionalitzada en el desenvolupament i organització del pensament matemàtic en el període premodern. Recerques sobre un aspecte de l'antropologia de les matemàtiques. Materialien und Studien: Institut für Didaktik der Mathematik der Universität Bielefeld 20: 7-137.

—. 1982. Recerques d'un problema de divisió sumeri primerenc, c. 2500 a. C. Història Mathematica 9: 19-36.

—. 1985. Àlgebra babilònica des del punt de vista de l'heurística geomètrica. Una recerca de terminologia, mètodes i patrons de pensament. Roskilde, Dinamarca.

—. 1986. Al-Khwârizmî, Ibn Turk i el Liber Mensurationum: Sobre els orígens de l'àlgebra islàmica. Erdem 2: 445-84.

—. 1987. Àlgebra i geometria ingènua. Una recerca d'alguns aspectes bàsics del pensament matemàtic de l'antiga Babilònia. Filosofi og Videnskabsteori på Roskilde Universitetscenter. 3. Række: Preprints og Reprints 1987 Nr. 2. En AoF 1990.

Ifrah, G. 1986. Universalgeschichte der Zahlen. Trans. A. von Platen. Frankfurt del Meno.

Iversen, E. 1975. Cànon i proporció en l'art egipci. 2d rev. ed. Warminster.

Jensen, JJ 1986. I begyndelsen var tallet: Pythagoræisk poesi gennem to åartusinder. Copenhaguen.

Knorr, WR 1975. L'evolució dels elements euclidians. Biblioteca històrica de Synthese 15. Dordrecht.

Krecher, J. 1969. Schreiberschulung en Ugarit. Die Tradition von Llistin und sumerischen Texten. UF 1: 131-58.

Larsen, MT 1987. La ment tèbia mesopotàmica: Reflexions sobre ciència, endevinació i alfabetització. Pàgines. 203-25 en Llengua, literatura i història: estudis filològics i històrics presentats a Erica Reiner, ed. F. Rochberg-Halton. AOS 67. New Haven.

Lévi-Strauss, C. 1972. The Savage Mind. Londres.

Neugebauer, O. 1935. Mathematische Keilschrift-texte. 1-3. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik 3 / 1-3. Berlina. Re pr. 1973.

—. 1969. Les ciències exactes en l'antiguitat. Nova York.

Neugebauer, O. i Sachs, A. 1945. Textos matemàtics cuneïformes. AOS 29. New Haven.

Paramelle, J. 1984. Philon d’Alexandrie, Questions sud la Genèse II 1-7. Cahiers d’Orientalisme 3. Ginebra.

Parker, RA 1972. Papirs matemàtics demòtics. Providència.

Peet, ET 1923. The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 i 10058. Londres.

Powell, DT., Jr. 1972. Mesures de l'àrea sumèria i el suposat substrat decimal. ZA 62: 165-221.

—. 1976. Els antecedents de la notació de lloc babilònica antiga i la història primerenca de les matemàtiques babilòniques. Història Mathematica 3: 417-39.

Robins, G. i Shute, Ch. CD 1985. Bases matemàtiques de l'arquitectura i l'art gràfic de l'Antic Egipte. Història Mathematica 12: 107-22.

—. 1987. El papir matemàtic de Rhind: un text egipci antic. Londres.

Schmandt-Besserat, D. 1977. Un sistema de gravació arcaic i l'origen de l'escriptura. SMS 1/2. Malibú, CA.

Struve, WW 1930. Mathematischer Papyrus donis Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 1. Berlín.

Thureau-Dangin, F. 1938. Textes mathématiques babyloniens. Ex Orient Lux 1. Leiden.

Vajman, AA 1961. Sumero-vavilonskaja matematika. III – I Tysjačeletija do ne Moscou.

Vogel, K. 1958. Vorgriechische Mathematik. Vol. 1, Vorgeschichte und Ăgypten. Mathematische Studienhefte 1. Hannover.

—. 1959. Vorgriechische Mathematik. Vol. 2, Die Mathematik der Babylonier. Mathematische Studienhefte 2. Hannover.

Waerden, BL van der. 1962. Science Awakening. 2d Ed. Groningen.

Wilpert, P. 1967. Nikolaus von Kues, Werke. (Neuausgabe donis Straßburger Drucks von 1488). I – II. Quellen und Studien zur Geschichte der Philosophie 5-6. Berlina.

      JENS HØYRUP